《（江苏专用）高考数学二轮复习专题五函数与导数第16讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）高考数学二轮复习专题五函数与导数第16讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲利用导数研究函数的单调性 极值与最值 第16讲利用导数研究函数的单调性 极值与最值1 若函数f x ax3 12x a的单调递减区间为 2 2 则实数a 答案1 解析f x 3ax2 12 0的解集是 2 2 则a 1 2 已知x 0是函数f x x 2a x2 a2x 2a3 的极小值点 则实数a的取值范是 答案 0 2 解析f x 3x2 2a2 4a x 3x 由x 0是函数的极小值点得2或a 0 3 若函数f x lnx x 在区间 1 a 2a 上单调递减 则实数a的取值范是 答案 解析函数f x 的定义域为 0 则03 则f x 的减区间为 0 1 3 则 1 a 2a 0
2、 1 a 4 定义在区间上的函数f x 8sinx tanx的最大值为 答案3 解析f x 8cosx 令f x 0 得cosx x x 且x f x 0 f x 递增 x f x 0 f x 递减 所以x 是极大值点 也是最大值点 故f x max f 3 题型一导数与函数的单调性 例1 2018盐城高三模拟 若对任意实数k b都有函数y f x kx b的图象与直线y kx b相切 则称函数f x 为 恒切函数 设函数g x aex x pa a p R 1 讨论函数g x 的单调性 2 已知函数g x 为 恒切函数 求实数p的取值范围 当p取最大值时 若函数h x g x ex m也为
3、恒切函数 求证 0 m 参考数据 e3 20 解析 1 g x aex 1 当a 0时 g x 0时 由g x 0得x lna 由g x 0得x lna 由g x 0 p 1 x0 设m x ex 1 x 则m x xex 由m x 0 由m x 0 得x 0 故m x 在 0 上单调递增 在 0 上单调递减 从而m x max m 0 1 故实数p的取值范围为 1 当p取最大值时 p 1 x0 0 a 1 则h x ex x 1 ex m h x 2ex x 2 ex 因为函数h x 也为 恒切函数 故存在x0 使得h x0 0 h x0 0 由h x0 0得 2 x0 2 0 即2 x0
4、2 0 设n x 2ex x 2 则n x 2ex 1 由n x 0 得x ln2 由n x 0 n 2 2 0 又n x 的图象在 ln2 上不间断 故在区间上存在唯一的x0 使得2 x0 2 0 故 此时由h x0 0 得m x0 1 x0 x0 2 函数r x x 1 2 在上递增 r 2 0 r 故0 m 综上所述 0 m 方法归纳 与单调性有关的两类问题的求解策略 若求单调区间 或证明单调性 则只要在函数定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 x D有解 再利用分离参数或者直接利用函数最值求解 1 1已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f
5、 x g x 存在单调递减区间 求a的取值范围 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上单调递减 求a的取值范围 解析 1 h x lnx ax2 2x x 0 所以h x ax 2 因为h x 在 0 上存在单调递减区间 所以当x 0 时 ax 2 设G x x 0 所以只要a G x min即可 而G x 1 所以当x 0 时 G x min 1 所以a 1且a 0 2 因为h x 在 1 4 上单调递减 所以x 1 4 时 h x ax 2 0恒成立 即当x 1 4 时 a 恒成立 所以a G x max 对于G x 1 因为x 1 4 所以 所以G x max G 4 所以a
6、当a 时 h x x 2 x 1 4 h x 0 即h x 在 1 4 上为减函数 故实数a的取值范围是a 且a 0 题型二导数与函数的极值 例2 2018扬州高三考前调研 已知函数f x lnx x g x 其中a为参数 1 若对任意x R 不等式g x b 0恒成立 求实数b的取值范围 2 当a 时 求函数f x 的单调区间 3 求函数f x 的极值 解析 1 由题意知对任意x R b g x 恒成立 对g x 求导得g x 令g x 0 则x 1 g x g x 随x的变化情况如下表 故g x max g 1 所以b 2 f x 的定义域为 0 其导函数为f x 当a 时 f x 由 1
7、 知 即ex 1 x 0 当且仅当x 1时取等号 令f x 0 则x 1 f x f x 随x的变化如下表 所以f x 的单调增区间为 1 单调减区间为 0 1 3 f x x 0 由 1 知 又 0 故0 下面讨论处理 当a 0时 a 0 此时f x 在 0 1 上递增 在 1 上递减 所以f x 极大值 f 1 ae 1 无极小值 当a 时 a 0 此时f x 在 0 1 上递减 在 1 上递增 所以f x 极小值 f 1 ae 1 无极大值 当00 1 a 0时 ex x2 过程略 故 a 0 又 1 a 0 x 在上递增且连续 所以 x 在上有唯一零点x2 且 a 故f x 在 0 x
8、1 上递减 在 x1 1 上递增 在 1 x2 上递减 在 x2 上递增 所以f x 极大值 f 1 ae 1 f x 极小值 f x1 lnx1 x1 1 lna f x 极小值 f x2 lnx2 x2 1 lna 综上得 a 0时 f x 极大值 f 1 ae 1 无极小值 当a 时 f x 极小值 f 1 ae 1 无极大值 当0 a 时 f x 极大值 f 1 ae 1 f x 极小值 1 lna 方法归纳 导数在函数极值中的应用主要有两种类型 一是求函数的极值 步骤是求定义域 求导数f x 解方程f x 0 列表得极值情况 二是已知函数y f x 含参数 在x x0处取得极值 求参
9、数的取值 利用f x0 0求出参数的值 再代入解析式进行检验 2 1已知函数f x c 0且c 1 k R 恰有一个极大值点和一个极小值点 其中一个是x c 1 求函数f x 的另一个极值点 2 求函数f x 的极大值M和极小值m 并求M m 1时k的取值范围 解析 1 f x 由题意知f c 0 即c2k 2c ck 0 c 0 k 0 c 1 由f x 0得 kx2 2x ck 0 另一个极值点为x c 即x 1 2 由 式得 c 1 当c 1时 k 0 当00时 f x 在 c 和 1 上是减函数 在 c 1 上是增函数 M f 1 0 m f c 0 解得k 当k0 m f 1 0 此
10、时M m 1 1恒成立 综上可知 所求k的取值范围为 2 题型三导数与函数的最值 例3 2018徐州高三考前模拟 已知函数f x lnx ax a a R 1 若a 1 解关于x的方程f x 0 2 求函数f x 在 1 e 上的最大值 解析 1 当a 1时 f x lnx x 1 显然f 1 0 所以x 1是方程f x 0的一个根 又因为f x 1 且当00 当x 1时 f x 0 当a 0时 恒有f x 0 所以f x 在 1 e 上单调递增 所以f x max f e 1 a ae 当a 0时 当00 当x 时 f x 0 所以f x 在上单调递增 在上单调递减 若 e 即0 a f x
11、 max f e 1 a ae 若1 e 即 a 1 f x max f ln 1 a a 1 lna 若0 1 即a 1 f x max f 1 0 综上所述 f x 在 1 e 上的最大值为f x max 方法归纳 含参数的函数的最值问题常在以下情况中需要分类讨论 使导数为零的自变量不确定时需要讨论 使导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定时需要讨论 端点处的函数值和极值大小不确定时需要讨论 参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定时需要讨论 3 1 2018扬州高三考前调研 已知函数f x 的最小值为a 则实数a的取值集合为 答案 2 2 2 解析当a 0时 f x
12、要使f x 的最小值为a 则解得a 2 当a0时 f x min a 1 x 0时 f x min f 2 要使f x 的最小值为a 则解得a 2 2 综上可得 实数a的取值集合为 2 2 2 3 2 2018淮海中学高三模拟 已知函数g x x3 ax2 bx a b R 有极值 且函数f x x a ex的极值点是g x 的极值点 其中e是自然对数的底数 极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值 1 求b关于a的函数关系式 2 当a 0时 若函数F x f x g x 的最小值为M a 证明 M a 解析 1 因为f x ex x a ex x a 1 ex 令f x 0 解得x a 1
13、列表如下 所以当x a 1时 f x 取得极小值 因为g x 3x2 2ax b 由题意可知g a 1 0 且 4a2 12b 0 所以3 a 1 2 2a a 1 b 0 化简得b a2 4a 3 由 4a2 12b 4a2 12 a 1 a 3 0 得a 所以b a2 4a 3 2 证明 因为F x f x g x x a ex x3 ax2 bx 所以F x f x g x x a 1 ex 3x2 2ax a 1 a 3 x a 1 ex x a 1 3x a 3 x a 1 ex 3x a 3 记h x ex 3x a 3 则h x ex 3 令h x 0 解得x ln3 列表如下 所以x ln3时 h x 取得极小值 也是最小值 此时 h ln3 eln3 3ln3 a 3 6 3ln3 a 3 2 ln3 a 3ln a a 0 令F x 0 解得x a 1 列表如下 所以x a 1时 f x 取得极小值 也是最小值 所以M a F a 1 a 1 a e a 1 a 1 3 a a 1 2 b a 1 e a 1 a 1 2 a 2 令t a 1 则t 1 记m t et t2 1 t et t3 t2 t 1 则m t et 3t2 2t t 1 因为 15 所以m t 0 所有m t 单调递增 所以m t et 2 2 所以M a
