《2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中人教A版数学选修2-1课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 1 空间向量基本定理 其中 a b c 叫做空间的一个基底 a b c叫做基向量 思考 1 平面向量的基底要求两个基向量不共线 那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件 提示 三个向量不共面 2 空间向量的基底是唯一的吗 提示 由空间向量基本定理可知 任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底 所以空间的基底有无数个 因此不唯一 3 基底和基向量是同一个概念吗 有什么区别 提示 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 2 空间向量的正交分解及其坐标表示 思考 1 分别与x轴 y轴 z轴共线的向量i j k的坐
2、标各有什么特点 提示 i x 0 0 j 0 y 0 k 0 0 z 2 你能写出坐标平面上向量的坐标吗 提示 xOy平面上向量的坐标为 x y 0 xOz平面上向量的坐标为 x 0 z yOz平面上向量的坐标为 0 y z 素养小测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 0也可以作为基向量 2 空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示 3 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则一定有a与b共线 4 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 提示 1 由于0可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是0 所以0不能是基向量 2 当三个
3、向量不共面时 才可以表示空间中的任意一个向量 3 由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底 4 空间的基底是由三个不共面的向量组成的 2 O A B C为空间四点 且向量不能构成空间的一个基底 则 A 共线B 共线C 共线D O A B C四点共面 解析 选D 由不能构成基底知三个向量共面 所以O A B C四点共面 3 设 e1 e2 e3 是空间向量的一个单位正交基底 a 4e1 8e2 3e3 b 2e1 3e2 7e3 则a b的坐标分别为 解析 由于 e1 e2 e3 是空间向量的一个单位正交基底 所以a 4 8 3 b 2 3 7 答案 a 4 8 3 b 2 3 7
4、 类型一基底的概念 典例 1 设a b c是三个不共面的向量 现在从 a b a b a c b c a b c中选出可以与a b构成空间的一个基底的向量 则所有可以选择的向量为 填序号 2 已知 e1 e2 e3 是空间的一个基底 且 e1 2e2 e3 3e1 e2 2e3 e1 e2 e3 试判断 能否作为空间的一个基底 思维 引 1 所选向量只要与a b不共面即可 2 先假设不能作为基底 即三个向量共面 看是否存在实数x y 使得成立 解析 1 构成基底只要三个向量不共面即可 这里只要含有向量c即可 故 都可以选择 答案 2 假设共面 由向量共面的充要条件知存在实数x y 使得成立 所
5、以e1 2e2 e3 x 3e1 e2 2e3 y e1 e2 e3 3x y e1 x y e2 2x y e3 因为 e1 e2 e3 是空间的一个基底 所以e1 e2 e3不共面 所以此方程组无解 即不存在实数x y 使得成立 所以不共面 故 能作为空间的一个基底 内化 悟 1 三向量共面的条件是什么 提示 其中一个向量能用另外的两个向量线性表示 2 三向量可以作为基底的条件是什么 提示 三向量不共面 类题 通 基底判断的基本思路及方法 1 基本思路 判断三个空间向量是否共面 若共面 则不能构成基底 若不共面 则能构成基底 2 方法 如果向量中存在零向量 则不能作为基底 如果存在一个向量
6、可以用另外的向量线性表示 则不能构成基底 假设a b c 运用空间向量基本定理 建立 的方程组 若有解 则共面 不能作为基底 若无解 则不共面 能作为基底 习练 破 空间的一个基底 a b c 所确定平面的个数为 A 1个B 2个C 3个D 4个以上 解析 选C 空间的一个基底 a b c 说明三个向量不共面 又两条相交直线确定一个平面 所以空间的一个基底 a b c 所确定平面的个数为3个 加练 固 已知点O A B C为空间不共面的四点 且向量a 向量b 则与a b不能构成空间基底的向量是 解析 选C 因为即与a b共面 所以与a b不能构成空间基底 类型二用基底表示向量 典例 如图所示
7、在平行六面体ABCD A B C D 中 P是CA 的中点 M是CD 的中点 N是C D 的中点 用基底 a b c 表示以下向量 世纪金榜导学号 思维 引 先把三个向量用平行四边形法则表示 再逐步向基向量化归 解析 连接AC AD AC 1 a b c 2 a 2b c 3 a b c 内化 悟 对于基底确定时 如何用基底表示指定向量 提示 要充分利用向量加法 减法的三角形法则和平行四边形法则 以及向量的数乘运算律进行 类题 通 用基底表示向量的三个步骤 1 定基底 根据已知条件 确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 2 找目标 用确定的基底 或已知基底 表示目标向量 需要根据三角形法则及
8、平行四边形法则 结合相等向量的代换 向量的运算进行变形 化简 最后求出结果 3 下结论 利用空间向量的一个基底 a b c 可以表示出空间所有向量 表示要彻底 结果中只能含有a b c 不能含有其他形式的向量 习练 破 在正三棱柱ABC A1B1C1中 M为 A1B1C1的重心 若 a b c 则 解析 因为在正三棱柱ABC A1B1C1中 M为 A1B1C1的重心 所以 b c 答案 b cc 加练 固 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 设E F分别是AD1 BD的中点 1 用向量a b c表示 2 若 xa yb zc 求实数x y z的值 解析 1 连接AF a b c 2 c
9、a b c a b c 所以x y z 1 类型三空间向量的坐标表示 典例 1 设 i j k 是空间向量的一个单位正交基底 a 2i 4j 5k b i 2j 3k 则向量a b的坐标分别为 2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 已知 ABC的边长为1 三棱柱的高为2 建立适当的空间直角坐标系 并写出的坐标 世纪金榜导学号 思维 引 1 向量的坐标就是基向量的系数 2 利用正三棱柱底面是正三角形 侧棱垂直于底面的特点建系 向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标 解析 1 a b的坐标即为i j k前面的系数 故a的坐标为 2 4 5 b的坐标为 1 2 3 答案 2 4 5 1 2 3 2 分
10、别取BC B1C1的中点D D1 以D为原点 分别以的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 如图所示 则所以 0 0 2 内化 悟 如何求向量或点的坐标 提示 1 求一个点的坐标 可利用已知条件 求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标 该坐标就等于相应点的坐标 2 求一个向量的坐标 首先求出这个向量的始点 终点坐标 再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标 类题 通 用坐标表示空间向量的步骤 习练 破 已知向量a b c是空间的一个单位正交基底 向量a b a b c是空间的另一组基底 若向量p在基底 a b c 下的坐标是 1 3 4 则向量p在基底 a b a b c 下的坐
11、标为 A 2 1 4 B 2 1 4 C 2 1 4 D 2 1 4 解析 选B 不妨设p a 3b 4c 设p x a b y a b zc x y a x y b zc 所以解得x 2 y 1 z 4 所以向量p在基底 a b a b c 下的坐标为 2 1 4 加练 固 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是直角梯形 BAD 90 AD BC AB BC a AD 2a PA 底面ABCD PDA 30 试建立适当的坐标系并求出图中各点的坐标及向量的坐标 解析 以点A为坐标原点 以AB AD AP所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 因为AB BC a 所以A 0 0 0 B a 0 0 C a a 0 因为AD 2a 所以D 0 2a 0 所以 a 2a 0 因为PA 底面ABCD 所以PA AD 又因为 PDA 30 所以PA ADtan30 故
