《2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的基本定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.2 空间向量的基本定理（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 2空间向量的基本定理 自我预习 1 空间向量的基本定理 a xb c xa yb p xa yb zc 2 基本概念 1 共面向量 平行于 的向量 2 线性表示式 表达式xa yb zc 叫做向量a b c的 或 同一平面 线 性表示式 线性组合 3 基底 如果三个向量a b c是三个 向量 则a b c的线性组合xa yb zc能生成 向量 这时a b c叫做空间的一个基底 记作 a b c 其中a b c都叫做 不共面的 所有的空间 基向量 思考 判断 1 向量a b c共面 即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面 2 若向量e1 e2不共线 则空间任意向量a 都有a e1 e2
2、 R 3 若a b 则存在唯一的实数 使a b 解析 1 错误 若向量a b c共面 则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内 它们所在的直线平行 相交 异面都有可能 2 错误 当向量a e1 e2共面时 才有a e1 e2 R 3 错误 当b 0 a 0时 不存在实数 使a b 答案 1 2 3 自我总结 1 对空间共线向量的两点说明 1 类比理解 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 平面共线向量的结论在空间共线向量中仍然成立 2 共线的理解 共线 这个概念具有自反性 也具有对称性 即若a b 则b a 2 共线向量充要条件的三个关注点 1 区别 共线向量与直线平行的区别 直线
3、平行不包括两直线重合的情况 而我们说的两个共线向量a b 表示向量a b的有向线段所在直线既可以是同一直线 也可以是两条平行直线 2 零向量 共线向量的充要条件及其推论是证明共线 平行 问题的重要依据 条件b 0不可遗漏 3 方向向量的个数 直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量 一条直线的方向向量有无限多个 它们的方向相同或相反 3 对共面向量的两点说明 1 共面的理解 共面向量是指与同一个平面平行的向量 可将共面向量平移到同一个平面内 共面向量所在的直线可能相交 平行或异面 2 向量的 自由性 空间任意的两向量都是共面的 只要方向相同 大小相等的向量就是同一向量 只要能平移到同一平面上的
4、向量都是共面向量 4 共面向量充要条件的三个作用 1 建立共面向量之间的向量关系式用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量 例如 如果两个向量a b不共线 由向量c与向量a b共面可得 存在唯一的一对实数x y 使c xa yb 2 证明三个向量共面如果向量a b c满足关系式c xa yb 那么可以判定向量a b c是共面向量 3 证明四个点共面空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对 x y 使满足这个关系式的点P都在平面MAB内 反之 平面MAB内的任一点P都满足这个关系式 5 空间向量基本定理的四个关注点 1 空间任意向量 用空间三个不共面的向量a b c可
5、以线性表示出空间中任意一个向量 而且表示的结果是唯一的 2 基底的选取 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 3 顺序性 向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应 即若基底为 e1 e2 e3 p xe1 ye2 ze3 则p的坐标为 x y z 4 限制性 向量a b c必须不共面 否则p表示的是平面向量 由于0可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0 自我检测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 0也可以作为基向量 2 空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示 3 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则一定有a与
6、b共线 4 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 提示 1 由于0可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是0 所以0不能是基向量 2 当三个向量不共面时 才可以表示空间中的任意一个向量 3 由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底 4 空间的基底是由三个不共面的向量组成的 2 对于空间的任意三个向量a b 2a b 它们一定是 A 共面向量B 共线向量C 不共面向量D 既不共线也不共面的向量 解析 选A 因为2a b 2 a 1 b 所以2a b与a b共面 3 点C在线段AB上 且则 解析 因为点C在线段AB上 所以方向
7、相反 又因为所以答案 4 如图 在梯形ABCD中 AB CD AB 2CD 点O为空间任一点 设则向量用a b c表示为 解析 因为AB CD AB 2CD 所以所以所以所以答案 类型一空间向量共线定理的应用 典例 1 若e1 e2不共线 则下列各组中的两个向量a b共线的是 A a e1 e2 b e1 e2B a e1 e2 b 2e1 3e2C a e1 e2 b 2e1 3e2D a e1 e2 b e1 e2 2 已知向量c d不共线 设向量a kc d b c k2d 若a与b共线 则实数k的值为 世纪金榜导学号 解题探究 1 典例1中 判断a b是否共线的关键是什么 提示 关键是
8、判断a b是否满足b a 2 典例2中 若 a b 0 且a与b不共线 如何求 的值 提示 若 a b 0 且a与b不共线 则 0 0 解析 1 选C 观察两个向量 判断是否存在实数 使得b a 若存在 则两个向量共线 否则两个向量不共线 选项C中 因为a e1 e2 b 2e1 3e2 所以b 2e1 3e2 6a 所以a与b共线 2 因为a与b共线 所以存在实数 使得a b成立 即kc d c k2d 整理 得 k c 1 k2 d 0 因为c d不共线 所以解得k 1 答案 1 方法技巧 1 判断向量共线的策略 1 熟记共线向量充要条件 a b b 0 则存在唯一实数 使a b 若存在唯
9、一实数 使a b b 0 则a b 2 判断向量共线的关键 找到实数 2 证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P A B可通过证明下列结论来证明三点共线 1 存在实数 使成立 2 对空间任一点O 有 t R 3 对空间任一点O 有 x y 1 变式训练 1 已知空间四边形ABCD E F分别是AB与AD边上的点 M N分别是BC与CD边上的点 若则向量满足的关系为 解析 选B 即因为所以又 与 不一定相等 故不一定等于 2 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E在A1D1上 且F在对角线A1C上 且求证 E F B三点共线 证明 类型二空间向量共面定理的应用 典例 1 若A B
10、C不共线 对于空间任意一点O都有则P A B C四点 A 不共面B 共面C 共线D 不共线 2 如图所示 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点 连接PA PB PC PD 点E F G H分别为 PAB PBC PCD PDA的重心 应用向量共面定理证明 E F G H四点共面 世纪金榜导学号 解题探究 1 典例1中 若P A B C四点共面 且则x y z应满足什么关系 提示 x y z应满足x y z 1 2 典例2中 为证明E F G H四点共面 需要证明什么样的向量表达式成立 提示 需证明 解析 1 选B 方法一 由所以P A B C四点共面 方法二 因为所以所以即所以所以共面 且
11、有公共点P 所以P A B C四点共面 2 分别延长PE PF PG PH交对边于M N Q R 如图所示 因为E F G H分别是所在三角形的重心 所以M N Q R为所在边的中点 顺次连结M N Q R 所得四边形为平行四边形 且有因为MNQR为平行四边形 所以 所以由共面向量定理得E F G H四点共面 延伸探究 典例2中增加以下条件 若点O是AC与BD的交点 点M为PC的中点 求证 共面 证明 取CD的中点N 连接ON NM 因为M N分别是PC CD的中点 所以PD MN PD MN 所以同理可得又因为所以共面 方法技巧 1 利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所
12、形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量 对于向量共面的充要条件 不仅会正用 也要能够逆用它求参数的值 2 证明空间向量共面或四点共面的方法 1 向量表示 设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合 即若p xa yb 则向量p a b共面 2 若存在有序实数组 x y z 使得对于空间任一点O 有且x y z 1成立 则P A B C四点共面 3 用平面 寻找一个平面 设法证明这些向量与该平面平行 变式训练 已知A B C三点不共线 对平面ABC外任意一点O 下列条件中能确定点M与点A B C一定共面的是 解析 选D 已知则A B C M四点共面的充要条件是x y z 1 补偿训练
13、 在长方体ABCD A1B1C1D1中 M为DD1的中点 N在AC上 且AN NC 2 1 求证 共面 证明 所以所以共面 类型三基底的判断及应用 典例 1 已知点O A B C为空间不共面的四点 且向量则与a b不能构成空间基底的向量是 2 如图 在三棱柱ABC A B C 中 已知 a b c 点M N分别是BC B C 的中点 试用基底 a b c 表示向量世纪金榜导学号 解题探究 1 典例1中三个向量哪个可以表示为 a b的形式 这说明了什么 提示 可以表示为 a b的形式 这说明与a b共面 2 典例2中哪些四边形是平行四边形 AM AN分别是哪个三角形的中线 由此可得什么向量等式
14、提示 三棱柱的三个侧面都是平行四边形 AM是 ABC 的中线 AN是 AB C 的中线 解析 1 选C 因为向量所以所以所以与a b共面 所以与a b不能构成空间基底 2 因为四边形AA C C是平行四边形 所以因为M为BC 的中点 所以因为四边形AA B B是平行四边形 所以因为N为B C 的中点 所以 延伸探究 1 变换条件 若把典例2中的 a改为 a 其他条件不变 则结果又是什么 解析 因为所以 2 变换条件 改变问法 典例2中增加条件 P在线段AA 上 且AP 2PA 试用基底 a b c 表示向量 解析 因为所以又因为M为BC 的中点 P在线段AA 上 且AP 2PA 所以 方法技巧
15、 用基底表示向量的步骤 1 定基底 根据已知条件 确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 2 找目标 用确定的基底 或已知基底 表示目标向量 需要根据三角形法则及平行四边形法则 结合相等向量的代换 向量的运算进行变形 化简 最后求出结果 3 下结论 利用空间向量的一个基底 a b c 可以表示出空间所有向量 表示要彻底 结果中只能含有a b c 不能含有其他形式的向量 补偿训练 如图 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 试用a b c表示 解析 连接AN 则 由ABCD是平行四边形 得则又故故 延伸探究 1 改变问法 本题条件不变 试用向量a b c表示 解析 连接AD1 则故 2 变换
16、条件 若把本题中的其他条件不变 试用a b c表示 解析 所以 易错误区案例 利用空间向量证明线面平行 典例 已知AB CD是异面直线 CD AB M N分别是AC BD的中点 证明 MN 错解案例 因为CD AB 且AB CD是异面直线 所以在平面 内存在向量a b使得 a b 且两个向量不共线 因为M N分别是AC BD的中点 所以根据共面向量定理知 所以MN 正解 因为CD AB 且AB CD是异面直线 所以在平面 内存在向量a b使得 a b 且两个向量不共线 因为M N分别是AC BD的中点 所以所以 a b共面 所以MN 或MN 若MN 则AB CD必在平面 内 这与已知AB CD是异面直线矛盾 故MN 即时应用 如图所示 已知四边形ABCD ABEF都是平行四边形且不共面 M N分别是AC BF的中点 判断是否共线 解析 因为M N分别是AC BF的中点 且四边形ABCD 四边形ABEF都是平行四边形 所以又因为以上两式相加得即共线
