《2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的直角坐标运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.4 空间向量的直角坐标运算（112页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 1 4空间向量的直角坐标运算 自我预习 1 空间向量的正交分解及坐标表示 1 单位正交基底 建立空间直角坐标系Oxyz 分别沿x轴 y轴 z轴的正方向引单位向量i j k 这三个 构成空间向量的一个基底 i j k 这个基底叫做单位正交基底 互相垂直的单位向量 2 坐标向量 指的是单位向量 i j k 3 空间向量的坐标 已知任一向量a 根据空间向量分解定理 存在唯一实数组 a1 a2 a3 使a a1i a2j a3k a1i a2j a3k分别为向量a在i j k方向上的分向量 有序实数组 a1 a2 a3 叫做向量a在此直角坐标系中的 上式可简记作a 坐标 a1 a2 a3 2 空间
2、向量的坐标运算设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a b a a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 a1b1 a2b2 a3b3 3 空间向量平行和垂直的条件 1 a b b 0 a b 用坐标表示为 a b b 0 当b与三个坐标平面都不平行时 a b 2 a b a b 0 用坐标表示为 a b a1b1 a2b2 a3b3 0 4 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b cos 设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2
3、 z1 思考 思考下列问题 1 若a x1e1 ye2 ze3 则a的坐标一定是 x y z 吗 提示 不一定 当e1 e2 e3是单位正交基底时 坐标是 x y z 否则不是 2 若向量 x1 y1 z1 则点B的坐标是 x1 y1 z1 吗 提示 不一定 由向量的坐标表示知 若向量的起点A与原点重合 则B点坐标为 x1 y1 z1 若向量的起点A不与原点重合 则B点坐标就不是 x1 y1 z1 自我总结 1 对空间向量的坐标的两点说明 1 空间向量坐标的本质a x y z 的本质是a xi yj zk 其中 i j k 是单位正交基底 2 空间向量的坐标与点的坐标的联系 起点在原点的向量
4、坐标与终点坐标相同 起点不在原点的向量 坐标是终点坐标减去起点对应坐标 2 对空间向量坐标运算的两点说明 1 类比平面向量坐标运算 空间向量的加法 减法 数乘和数量积与平面向量的类似 学习中可以类比推广 推广时注意利用向量的坐标表示 即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示 即a x y 而在空间中则表示为a x y z 2 运算结果 空间向量的加法 减法 数乘坐标运算结果依然是一个向量 空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数 3 对空间两个向量平行与垂直的两点说明 1 类比平面向量平行 垂直 空间两个向量平行 垂直与平面两个向量平行 垂直的表达式不一样 但实质是一致的 2 转化 判定空间
5、两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向量是否平行或垂直 4 三个点共线的充要条件三个点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 C x3 y3 z3 共线的充要条件是简证 三个点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 C x3 y3 z3 共线的充要条件为即向量与向量共线 其坐标对应成比例 从而有 5 空间两向量夹角公式的特点 1 无论在平面还是空间 两向量的夹角余弦值都是cos 只是坐标运算时空间向量多了一个竖坐标 2 空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同 当所求两向量夹角为钝角时 两直线夹角是与此钝角互补的锐角 6 空间向量与平面向量长度的区别 1 空间向量的长度与平面向量
6、的长度公式形式一致 坐标运算时空间向量多了一个竖坐标 2 空间两点间的距离公式是长度公式的推广 首先根据向量的减法推出向量的坐标表示 然后再用长度公式推出 自我检测 1 思维辨析 对的打 错的打 1 若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b 2 若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则是钝角 a1b1 a2b2 a3b3 0 3 把向量a x y z 平移后其坐标不变 提示 1 当b的三个坐标都不为0时 a b 才成立 否则有些分式无意义 2 当a1b1 a2b2 a3b3可能等于180 3 向量平移后 起点和终点坐标会发生变化 但对应坐标的差 即向量的坐标不变 2 已知
7、向量a 4 2 4 b 6 3 2 则下列结论正确的是 A a b 10 5 6 B a b 2 1 6 C a b 10D a 6 解析 选D a b 10 5 2 a b 2 1 6 a b 4 2 4 6 3 2 4 6 2 3 4 2 22 a 所以A B C错 D正确 3 与向量m 0 1 2 共线的向量是 A 2 0 4 B 3 6 12 C 1 1 2 D 解析 选D 由两向量共线的条件知 0 1 2 所以向量与向量 0 1 2 共线 4 已知a 2 1 3 b 4 5 x 若a b 则x 解析 因为a b 所以a b 0 所以2 4 1 5 3x 0 解得x 1 答案 1 类型
8、一空间向量的坐标表示 典例 1 已知在如图所示的棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为D1C1 B1C1的中点 若以为基底 则向量的坐标为 向量的坐标为 向量的坐标为 2 如图所示 PA垂直于正方形ABCD所在的平面 M N分别是AB PC的中点 并且PA AB 1 试建立适当的空间直角坐标系 求向量的坐标 解题探究 1 典例1中若求向量的坐标 首先如何处理 提示 先用基向量表示所求向量 2 典例2中如何选择单位正交基底 提示 选择作为基向量 解析 1 所以相对于基底的坐标为所以的坐标为 所以的坐标为 1 1 1 答案 1 1 1 2 因为PA AB AD 1 PA 平面A
9、BCD AB AD 所以是两两垂直的单位向量 设以 e1 e2 e3 为基底建立空间直角坐标系A xyz 方法一 因为 方法二 如图所示 连接AC BD交于点O 则O为AC BD的中点 连接MO ON 因为所以所以 方法技巧 用坐标表示空间向量的步骤 补偿训练 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为2的正方体 E F分别为BB1和DC的中点 建立如图所示的空间直角坐标系 试写出的坐标 解析 设x y z轴的单位向量分别为e1 e2 e3 其方向与各轴上的正方向相同 则 2e1 2e2 2e3 所以 2 2 2 因为 2e1 2e2 e3 所以 2 2 1 又因为 e2 所以 0 1 0 类型二
10、空间向量的坐标运算 典例 1 设M 5 1 2 A 4 2 1 若则点B应为 A 1 3 3 B 9 1 1 C 1 3 3 D 9 1 1 2 若向量a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 满足条件 c a 2b 2 则x的值为 A 2B 2C 0D 1 3 已知空间四点A B C D的坐标分别是 1 2 1 1 3 4 0 1 4 2 1 2 若p q 求下列各式的值 世纪金榜导学号 1 p 2q 2 3p q 3 p q p q 解题探究 1 典例1中点B的坐标与哪个向量的坐标相同 提示 点B的坐标与向量的坐标相同 2 典例2中先后利用什么运算建立关于x的方程 提示 先用空间向量
11、减法 数乘运算 再用数量积运算建立关于x的方程 3 典例3中如何求p q的坐标 提示 用终点坐标减去起点坐标 解析 1 选B 所以 9 1 1 即B 9 1 1 2 选A 由题意得c a 1 1 1 1 1 x 0 0 1 x 2b 2 1 2 1 2 4 2 所以 c a 2b 0 0 1 x 2 4 2 0 2 0 4 2 1 x 2 1 x 2 解得x 2 3 由于A 1 2 1 B 1 3 4 C 0 1 4 D 2 1 2 所以p 2 1 3 q 2 0 6 1 p 2q 2 1 3 2 2 0 6 2 1 3 4 0 12 6 1 9 2 3p q 3 2 1 3 2 0 6 6
12、3 9 2 0 6 4 3 15 3 p q p q p2 q2 p 2 q 2 22 12 32 22 02 62 26 方法技巧 关于空间向量坐标运算的两类问题 1 直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来 然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 2 由条件求向量或点的坐标首先把向量用坐标形式设出来 然后通过建立方程组 解方程求出其坐标 变式训练 已知a 2 1 3 b 1 2 1 若a a b 则实数 的值为 A 2B C D 2 解析 选D 由题意知a a b 0 即a2 a b 0 所以14 7 0 解得 2 类型三空间向量的平行与垂直 典例 正方体ABCD A1B1C1D1中 E是
13、棱D1D的中点 P Q分别为线段B1D1 BD上的点 且若PQ AE 求 的值 世纪金榜导学号 解题探究 本例中由PQ AE 可以推出什么向量表达式 相等向量的坐标之间有什么关系 提示 由PQ AE推出 0 相等向量的对应坐标相等 解析 如图所示 以D为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 则A 1 0 0 B 1 1 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 由题意 可设点P的坐标为 a a 1 因为所以3 a 1 a 1 0 a a 0 所以3a 3 a 解得a 所以点P的坐标为 由题意可设点Q的坐标为 b b 0 因为PQ AE 所以所以即解得b
14、所以点Q的坐标为因为所以 1 1 0 所以 1 故 4 延伸探究 1 变换条件 若把本例中的PQ AE改为B1Q EQ 其他条件不变 则结果又是什么 解析 以D为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 点Q的坐标为 c c 0 因为B1Q EQ 所以所以 c 1 c 1 1 0 即c c 1 c c 1 0 4c2 4c 1 0 解得c 所以点Q的坐标为所以点Q是线段BD的中点 所以 2 变换条件 改变问法 本例中若G是A1D的中点 点H在平面xOy上 且GH BD1 试判断点H的位置 解析 以D为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐
15、标系 设正方体的棱长为1 因为G是A1D的中点 所以点G的坐标为因为点H在平面xOy上 设点H的坐标为 m n 0 因为 m n 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 且所以解得m 1 n 所以点H的坐标为所以H为线段AB的中点 方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型 1 平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行 只需判断两直线的方向向量是否共线 判断两直线是否垂直 关键是判断两直线的方向向量是否垂直 即判断两向量的数量积是否为0 2 平行与垂直的应用 适当引入参数 比如向量a b平行 可设a b 建立关于参数的方程 选择坐标形式 以达到简化运算的目的 补偿训练 已知空间三点A 2 0
16、 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设 1 设 c 3 c 求c 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求k 解析 1 因为 2 1 2 且c 所以设c 2 2 R 所以 c 3 3 解得 1 所以c 2 1 2 或c 2 1 2 2 因为a 1 1 0 b 1 0 2 所以ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 因为 ka b ka 2b 所以 ka b ka 2b 0 即 k 1 k 2 k 2 k 4 2k2 k 10 0 解得k 2或k 延伸探究 改变条件 将本题 2 中 若ka b与ka 2b互相垂直 改为 若ka b与a kb互相平行 其他条件不变 求k的值 解析 a 1 2 1 0 2 2 1 1 0 b 3 2 0 0 4 2 1 0 2 所以ka b k k 0 1 0 2 k 1 k 2 a kb 1 1 0 k 0 2k 1 k 1 2k 因为ka b与a kb平行 所以ka b a kb 即 k 1 k 2 1 k 1 2k 所以则或 类型四向量夹角与长度的计算 典例 1 已知向量a 1 0 1 则下列向量中与a成60 夹角的是 A 1 1 0 B
