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1、（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（3）了解双曲线的简单应用.（4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程1双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在2双曲线的标准方程
2、双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且，如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a0，b0)，焦点分别为F1(0，c)，F2(0，c)，焦距为2c，且，如图2所示图1 图2注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有ca0，cb03必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程可设为（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或（4）与双曲线(a0，b0)共焦点的双曲线方程可设为（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为（6）与椭
3、圆(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为二、双曲线的几何性质1双曲线的几何性质标准方程(a0，b0)(a0，b0)图形范围，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(c，0)，右焦点F2(c，0)下焦点F1(0，c)，上焦点F2(0，c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b渐近线离心率e2等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率考向一 双曲线的定义和
4、标准方程1在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用 2求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=ABCD【答案】CcosF1PF2=.典例2 已知F为双曲线的左焦点，为上的点若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为_【答案】44【解析】易知双曲线的左焦点为，点是双曲线的右焦点，
5、虚轴长为，双曲线的图象如图：1若双曲线=1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是_.考向二 求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.典例3 已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为_.【答案】 典例4 如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x
6、-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2已知分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时，的面积为，求此双曲线的方程.考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.典例5 已知分别是双曲线的左、右焦点，的坐标为，若双曲线的右支上有一点，且满足，则该双曲线的渐近线方程为A BC D【答案】A典例6 如图,已知F1、F2分别为双曲线C
7、:的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(+)=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为Ay=x By=xCy=x Dy=x【答案】B3已知双曲线：，过左焦点的直线切圆于点，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A BC D考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离
8、心率的范围对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使F1AF2=90,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于A B C D 【答案】B【解析】由,由F1AF2=90,得,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=,选B.典例8 已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P，使得=8a,则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】(1,3 4
9、已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线离心率的取值范围是A BC D5已知、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为_.1在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=3,则动点P的集合是A两条射线B以F1,F2为焦点的双曲线C以F1,F2为焦点的双曲线的一支D不存在2方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A BC D3双曲线的渐近线方程为A BCD4已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为A BC D5若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为A B
10、C D6已知点分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为A BC D7设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为ABCD8设、分别是双曲线C：的左、右焦点，点在双曲线C的右支上，且，则A BC D9已知双曲线的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A BC D10已知方程和(其中ab0且ab),则它们所表示的曲线可能是11设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于A BC24 D4812九章算术是我国古代内容极为丰
11、富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为A BC D13已知O是坐标原点，双曲线与椭圆的一个交点为P，点，则的面积为A BC D14过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为_15设分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，为坐标原点，则_16已知离心率的双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点.若的面积为1，则实数的值为_.17已知点分别是双曲线
12、的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_18已知是双曲线的右焦点,的右支上一点到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点满足,则_.19若双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_.20已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为（1）求双曲线C的标准方程；（2）设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|21已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ，在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标22已知双曲线=,P是C上的任
13、意一点.(1)求证:点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数;(2)设点A的坐标为,求的最小值.23已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e=，且过点(4,).(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:.24已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程.(2)若点M在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点，且，试判断的形状.1（2018浙江）双曲线的焦点坐标是A(，0)，(，0)B(2，0)，(2，0)C(0，)，(0，)D(0，2)，(0，2)2（2017天津理科）已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为ABCD3（2018新课标全国理科）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为ABCD4（2017新课标全国II理科）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为A2BCD5（2017新课
