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1、函数及其表示【考点梳理】1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(
2、2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数【考点突破】考点一、求函数的定义域【例1】函数f(x)的定义域为()A(3，0B(3，1C(，3)(3，0D(，3)(3，1答案 A解析 由题意，自变量x应满足解得3x0，所以
3、函数f(x)的定义域为(3，0.【类题通法】求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.【对点训练】函数g(x)log2(6x)的定义域是()Ax|x6 Bx|3x3 Dx|3x6答案 D解析 由解得3x6，故函数的定义域为x|3x6.【例2】若函数yf(x)的定义域是0，2，则函数g(x)的定义域为_.答案 0，1)解析 因为yf(x)的定义域为0，2，所以要使g(x)有意义应满足解得0x1) (3) (x0)解析 (1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(
4、x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(2)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(3)f(x)2fx，f2f(x).联立方程组解得f(x)(x0)【类题通法】求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)；(4)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替
5、代g(x)，即得f(x)的表达式【对点训练】1已知f(x)是一次函数，且ff(x)x2，则f(x)()Ax1B2x1Cx1Dx1或x1答案 A解析 设f(x)kxb，则由ff(x)x2，可得k(kxb)bx2，即k2xkbbx2，k21，kbb2，解得k1，b1，则f(x)x1.故选A.2已知f(1)x2，则f(x)_.答案 x21(x1)解析 (换元法)设1t(t1)，则t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)x21(x1)(配凑法)f(1)x2(1)21，又11，f(x)x21(x1)3定义在(1，1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)
6、_.答案 lg(x1)lg(1x)(1x1)解析 当x(1，1)时，有2f(x)f(x)lg(x1).将x换成x，则x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1).由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1，1).考点三、分段函数【例4】(1) 设f(x)若f(a)f(a1)，则f ()A2 B4 C6 D8(2)若f(x)则f()A2 B3 C9 D9答案 (1) C(2) C解析 (1)由已知得0a1，f(a)f(a1)，2(a11)，解得a，f f(4)2(41)6.(2)f(x)flog32，ff(2)29.故选C.【类题通法】根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值
7、属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.【对点训练】1已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A B C D答案 A解析 当a1时，f(a)2a123，即2a11，不成立，舍去；当a1时，f(a)log2(a1)3，即log2(a1)3，解得a7，此时f(6a)f(1)222.2已知函数f(x)则f(f(4)_.答案 4解析 f(4)2416，f(f(4)f(16)4.【例5】(1)设函数f(x)若f 4，则b()A1 B C D(2)设函数f(x)则满足f(x)f 1的x的取值范围是_.答案 (1) D(2) 解析 (1)f 3bb，若b时，则f f 3b4，解之得b，不合题意舍去
8、.若b1，即b，则4，解得b.(2)当x0时，f(x)f(x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当01，该式恒成立，当x时，f(x)f 2x，又x时，2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.【类题通法】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.【对点训练】1设函数f(x)若f 2，则实数a为()A B C D答案 D解析 易得f 2aa.当a1时，f f 33a，所以33a2，a不满足a1，舍去.当a1时，即a时， f log22，解得a.2设函数f(x)若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_答案 (，解析 由题意得或解得f(a)2.由或解得a.
