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1、考点13 定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分1曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(ab)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图)（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向
2、一个定值，即为曲边梯形的面积2求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.3定积分的定义和相关概念（1）如果函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1xi1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点i (i=1,2, ,n)，作和式；当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即=.（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被
3、积式4定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中acb) 【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和5定积分的几何意义（1）当函数f (x)在区间a,b上恒为正时，定积分f (x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影部分)（2）一般情况下，定积分f (x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f (x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于
4、该区间上积分值的相反数6定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则（1）； （2）；（3）； （4）.7定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.二、微积
5、分基本定理一般地，如果f (x)是区间a,b上的连续函数，且F(x)=f (x)，那么=F(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数为了方便，我们常把F(b)F(a)记作，即=F(b)F(a)【注】常见的原函数与被积函数的关系（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一 定积分的计算1求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分例如，定积分的几何意义是求单位圆
6、面积的，所以.2用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加4奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在a，a上连续，则；（2）若偶函数y=g(x)的图象在a，a上连续，则.典例1 A BC D【答案】A【解析】.故选A【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出
7、错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1若，其中，则A BC D考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤根据题意画出图形；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案（2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相
8、应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于A1 B C D【答案】D 【解析】由，得.如图，由对称性可知，.故选D.2用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是A BC D考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求.典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行
9、驶的距离(单位：m)是A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2【答案】C 【解析】令v(t)=0得，3t24t32=0，解得t=4(舍去).汽车的刹车距离是故选C.3已知物体运动的速度与时间的关系式为，则物体从到所走的路程为A BC D1定积分的值为A BC D2求曲线与所围成的图形的面积，正确的是A BC D3若，则的值不可能为A BC D4已知函数在上可导，且，则A1 BC D5汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是A BC D6若函数的图象如图所示，则图中阴影部分的面积为A BC D7已知二项式的展开式中的系数为，则的值为A BC D8曲线与
10、轴所围成图形的面积被直线分成面积相等的两部分，则的值为A BC D9设,在区间上随机产生10000个随机数，构成5000个数对，记满足的数对的个数为,则的估计值约为A3333 B3000C2000 D166710已知定义在上的函数与，若函数为偶函数，函数为奇函数，且，则_1（2015年高考湖南卷理科） 2（2015年高考天津卷理科）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 3（2015年高考山东卷理科）执行如图所示的程序框图,输出的T的值为 4（2015年高考福建卷理科）如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f (x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率
11、等于 5（2015年高考陕西卷理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 变式拓展【点睛】本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.求解时，首先求出定积分，代入，利用二倍角公式得到关于的方程，求出，结合的范围可得结果.2【答案】D【解析】由定积分的几何意义知，图中阴影部分的面积为.故选D3【答案】B【解析】由积分的物理意义可知物体从t=0到t=5所走的路程为.故选B考点冲关1【答案】A【解析】表示以为圆心，为半径的圆，定积分等于
12、该圆的面积的四分之一，定积分，故选A2【答案】A【解析】如图所示，由定积分几何意义可得 故选A3【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，,显然不成立，故选B5【答案】D【解析】由题意可得在第1s至2s之间的1s内经过的路程,故选D6【答案】C【解析】由图可知，即，则.图中的部分的面积为. .故选C【名师点睛】本题考查了导数在求解面积中的应用，关键是利用图形求解函数的解析式，再在运用积分求解定积分的计算一般有三个方法：利用微积分基本定理求原函数；利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0.7【答案】B【解析】二项式的展开式的通项为，令可
13、得的系数为由题意得，解得所以故选B【名师点睛】先由二项式定理求得展开式的通项，根据题意求得实数的值，再根据微积分基本定理求定积分8【答案】D【解析】如图所示，曲线与轴的交点为和，曲线与直线的交点为和由题意和定积分的几何意义得：，化简得：，即，解得：故选D【点睛】1由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用， 但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决具体步骤如下：(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积2由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分9【答案】A【解析】满足是在曲线、
