《人教版中职数学（拓展模块）3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版中职数学（拓展模块）3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 计数的基本原理 排列 组合 排列数Pnm公式 组合数Cnm公式 组合数的两个性质 应用 本章知识结构 1 分类加法计数原理完成一件事 有n类办法 在第1类办法中有m1种不同的方法 在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 m1 m2 m3 mn m1 m2 mn 一 两个原理 3 分类和分步的区别分类 完成一件事同时存在n类方法 每一类都能独立完成这件事 各类互不
2、相关 分步 完成一件事须按先后顺序分n步进行 每一步缺一不可 只有当所有步骤完成 这件事才完成 一 两个原理 练习1 书架上放有3本不同的数学书 5本不同的语文书 6本不同的英语书 1 若从这些书中任取一本 有多少种不同的取法 2 若从这些书中 取数学书 语文书 英语书各一本 有多少种不同的取法 3 若从这些书中取不同的科目的书两本 有多少种不同的取法 答案 N m1 m2 m3 3 5 6 14 N m1 m2 m3 90 N 3 5 3 6 5 6 63 一 两个原理 练习2 由数字0 1 2 3 4可以组成多少个三位整数 各位上的数字允许重复 解 要组成一个三位数 需要分成三个步骤 第一
3、步确定百位上的数字 从1 4这4个数字中任选一个数字 有4种选法 第二步确定十位上的数字 由于数字允许重复 共有5种选法 第三步确定个位上的数字 仍有5种选法 根据乘法原理 得到可以组成的三位整数的个数是N 4 5 5 100 答 可以组成100个三位整数 一 两个原理 题型一利用两个计数原理求方法数 例1 1 现要排一份 天的值班表 每天有一人值班 共有 人 每人可以多天值班或不值班 但相邻两天不准由同一人值班 问此值班表共有种不同排法 1280 一 两个原理 1 值班表须依题设一天一天的分步完成 第一天有5人可选 有5种排法 第二天不能用第一天的人 有4种排法 同理 第三天 第四天 第五天
4、也有4种 故由分步计数原理排值班表共有5 4 4 4 4 1280种 应填1280 一 两个原理 2 设另两边长为x y 且1 x y 11 x y Z 构成三角形 则x y 12 当y取11时 x 1 2 3 11 有11个 当y取10时 x 2 3 10 有 个 当y取9时 x 3 4 9 共7个 当y取6时 x也只能为6 有1个 故满足题设的三角形共有 11 9 7 5 3 1 36个 故选C 2 三角形的三边长均为整数 且最长的边长为11 则这样的三角形的个数有 A 25个B 26个C 36个D 37个 C 1 是分步问题 用分步计数原理 2 是分类问题 用分类计数原理 一 两个原理
5、从n个不同的元素中 任取M个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同的元素中取出M个元素的一个排列 二 排列与排列数 所有排列的个数叫做排列数 用表示 3 排列数计算公式 n n 1 n 2 n m 1 其中m n 若m n 排列称为全排列 记 1 2 3 n 1 n n 称为n的阶乘 规定0 1 二 排列与排列数 从n个不同元素中 取出m m n 个不同元素组成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 所有组合的个数叫做组合数 用符号表示 组合与组合数 3 组合数计数公式 规定 1 4 组合数的两个性质 组合与组合数 排列与组合的共同点是 从n个不同元素中 任取m个不同元素 而不
6、同点是排列要 按照一定的顺序排成一列 而组合却是 只需组成一组 与顺序无关 因此 有序 与 无序 是排列与组合的重要标志 为排列问题 为组合问题 有序 无序 排列与组合的区别 题型二排列 组合数方程问题 例2 解下列方程 1 140 2 1 根据排列的意义及公式得4 2x 13 x 2x 1 2x 2x 1 2x 2 140 x x 1 x 2 x 4x 23 x 3 0 解之并检验得x 3 则有 2 由组合数的性质可得 又 所以 即 所以 所以5 x 2 x 3 经检验知x 3 凡遇到解排列 组合的方程 不等式问题时 应首先应用性质和排列 组合的计算公式进行变形与化简 并注意有关解排列 组合
7、的方程 不等式问题 最后结果都需要检验 题型三结合两个计数原理求排列 组合问题的方法数 例3 用0 1 2 3 4这五个数字 可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数 1 比21034大的偶数 2 左起第二位 第四位是奇数的偶数 1 方法一 可分五类 当末位数字是0 而首位数字是2 6 个 当末位数字是0 而首位数字是3或4 有 12 个 当末位数字是2 而首位数字是3或4 有 12 个 当末位数字是 而首位数字是2 有 3 个 当末位数字是4 而首位数字是3 有 6 个 故有6 12 12 3 6 39 个 方法二 不大于21034的偶数可分为三类 1为万位数字的偶数 有 18 个
8、2为万位数字 而千位数字是0的偶数 有 2 个 还有21034本身 而由0 1 2 3 4组成的五位偶数共有 60 个 故满足条件的五位偶数共有60 1 39 个 2 方法一 可分两类 0是末位数 有 4 个 或 是末位数 有 4 个 故共有4 4 8 个 方法二 第二位 第四位从奇数1 3中取 有个 首位从 中取 有个 余下排在剩下的两位 有个 故共有 8 个 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题 常见的附加条件有 奇偶数 位数关系及大小关系等 也可有相邻问题 不相邻问题等 解决这类问题的关键是搞清受限条件 然后按特殊元素 位置 的性质分类 这类问题有0参与时 不可忽视它不能排在首
9、位的隐含条件 为了参加学校的元旦文艺会演 某班决定从爱好唱歌的 名男同学和 名女同学中选派 名参加小合唱节目 如果要求男女同学至少各选派 名 那么不同的选派方法有多少种 方法一 按选派的男同学的人数分三类 选派一名男同学 三名女同学有 40种方法 选派两名男同学 两名女同学有 60种方法 选派三名男同学 一名女同学有 20种方法 由分类计数原理 共有不同的选派方法有40 60 20 120种 方法二 在这九名同学中任选四名 有 126种方法 其中四人都是男同学的有 1种方法 四人都是女同学的有 5种方法 因此符合要求的选派方法有126 1 5 120种 有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现
10、在被选出的元素 含 或 不含 某些元素 或是 至少 至多 等类型的组合问题 对于这类组合应用题解题的总体思路为 1 用直接法 一般是从整体分类 然后再局部分步 对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题 首先应以其中一个集合为基准进行分类 当然 为了使类别尽量少 这个集合里的元素较少为好 分类时要做到不重不漏 也就是各类的并集是全集 任意两类的交集是空集 在合理正确分类的前提下 在每一类中 依据题目的要求进行分步 分步要做到步步连续 各步之间相互独立 用间接法 当正面求解较为困难时 也可采用正难则反的思想 用 间接法 求解 但要注意找准对立面 球台上有4个黄球 6个红球 击黄球入袋记2分 击红球入
11、袋记1分 欲将此 0个球中的4个球击入袋中 但总分不低于5分 则击球方法有几种 能力提高 设击入黄球x个 红球y个符合要求 x y 42x y 5x y N x 1x 2x 3x 4y 3 y 2 y 1 y 0 故共有不同击球方法数为 195 则有 解得 本题需运用不等式的知识 确定击入黄球与红球的个数 有时则需利用集合的运算等知识 确定相关元素的个数 再利用排列或组合的知识解决方法种数问题 1 解决应用题时 应分析 要完成做一件什么事 这件事怎样做才可以做好 需要分类还是分步 运用分类计数原理和分步计数原理 关键在于 两方面 认真分析题意 设计合理的求解程序是求解问题的关键 1 解决应用题
12、时 应分析 要完成做一件什么事 这件事怎样做才可以做好 需要分类还是分步 运用分类计数原理和分步计数原理 关键在于 两方面 认真分析题意 设计合理的求解程序是求解问题的关键 2 如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事 即类与类之间是相互独立的 即分类完成 则选用分类计数原理 如果完成一件事要经历几个步骤 即几步 且只有当这些步骤都做完 这件事才能完成 即步与步之间是相互依存 相互连续的 即分步完成 则选用分步计数原理 3 排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排 即与顺序有关 而组合只取出一组即可 与顺序无关 4 注意排列数公式 组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种 公式 n n 1 n
13、 m 1 常用于计算 而公式 常用于证明恒等式 补充 含有约束条件的排列组合数的常用策略 一 特殊元素和特殊位置优先策略 例1 由0 1 2 3 4 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 解 由于末位和首位有特殊要求 应该优先安排 以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 若以元素分析为主 需先安排特殊元素 再处理其它元素 若以位置分析为主 需先满足特殊位置的要求 再处理其它位置 若有多个约束条件 往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 一 特殊元素和特殊位置优先策略 7种不同的花种
14、在排成一列的花盆里 若两种花不种在中间 也不种在两端的花盆里 问有多少不同的种法 练习题 解一 分两步完成 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 第二步排其余的位置 解二 第一步由葵花去占位 第二步由其余元素占位 小结 当排列或组合问题中 若某些元素或某些位置有特殊要求的时候 那么 一般先按排这些特殊元素或位置 然后再按排其它元素或位置 这种方法叫特殊元素 位置 分析法 二 相邻元素捆绑策略 例2 7人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法 解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 同时丙丁也看成一个复合元素 再与其它元素进行排列 同时对相邻元素内部进行自排 要求
15、某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素一起作排列 同时要注意合并元素内部也必须排列 某人射击8枪 命中4枪 4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 练习题 20 三 不相邻问题插空策略 例3 一个晚会的节目有4个舞蹈 2个相声 3个独唱 舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种 解 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 且两个新节目不相邻 那
16、么不同插法的种数为 30 练习题 四 定序问题倍缩空位插入策略 例4 7人排队 其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解 倍缩法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是 空位法 设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法 其余的三个位置甲乙丙共有种坐法 则共有种方法 1 思考 可以先让甲乙丙就坐吗 五 重排问题求幂策略 例5 把6名实习生分配到7个车间实习 共有多少种不同的分法 解 完成此事共分六步 把第一名实习生分配到车间有种分法 7 把第二名实习生分配 到车间也有7种分法 六 环排问题线排策略 例6 5人围桌而坐 共有多少种坐法 解 围桌而坐与坐成一排的不同点在于 坐成圆形没有首尾之分 所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有 种排法即 5 1 一般地 n个不同元素作圆形排列 共有 n 1 种排法 如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 七 多排问题直排策略 例7 8人排成前后两排 每排4人 其中甲乙在前排 丁在后排 共有多少排法 解 8人排前后两排 相当
