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1、第17讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.2017全国卷已知椭圆C:+=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点. 试做2.2017全国卷在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由.(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.3.2016全国卷在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛
2、物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求.(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.试做命题角度圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路:从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.(2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路:假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点;从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意.(3)存在性问
3、题的求解方法:先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立.解答1定点问题1 已知抛物线C:x2=2y,直线l:y=x-2,设P为直线l上的动点,过P作抛物线的两条切线,切点分别为A,B.(1)当点P在y轴上时,求线段AB的长;(2)求证:直线AB恒过定点.听课笔记 【考场点拨】解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的;(2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.【自我检测】已知椭圆C:
4、+=1(ab0)的离心率为,Ma4,b为焦点坐标是的抛物线上一点,H为直线y=-a上一点,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C的方程; (2)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为D,E,求证:直线DE过定点.解答2定值问题2 已知椭圆E:+=1,点A,B,C都在椭圆E上,O为坐标原点,D为AB中点,且=2.(1)若点C的坐标为,求直线AB的方程;(2)求证:ABC的面积为定值.听课笔记 【考场点拨】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定
5、值.【自我检测】已知抛物线E:y2=2px(p0),直线x=my+3与E交于A,B两点,且=6,其中O为坐标原点.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点C的坐标为(-3,0),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:+-2m2为定值.解答3存在性问题3 已知点A(0,-1),B(0,1),P为椭圆C:+y2=1上异于点A,B的任意一点.(1)求证:直线PA,PB的斜率之积为-.(2)是否存在过点Q(-2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,使得|BM|=|BN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.听课笔记 【考场点拨】存在性问题的求解策略:(1)若给出问题的一些特殊关系
6、,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.【自我检测】已知椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,且椭圆C的短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,且满足=2(O为坐标原点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.第17讲圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 典型真题研析1.解:(1)由于
7、P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1)+(m-1)=0,解得k=-.当且仅当m-1时,0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).2.解:(1)不能出现ACBC的情况,
8、理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为=-,所以不能出现ACBC的情况.(2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-m2.联立又+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.3.解:(1)由已知得M(0,t),P,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,则直线ON的方程为y=ptx,代入y2=2
9、px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H,2t,所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t),代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.考点考法探究解答1例1解:(1)设A,B.由y=x2,得y=x,以A为切点的切线方程为y-=x1(x-x1),即y=x1x-,同理以B为切点的切线方程为y=x2x-.点P(0,-2)在切线上,-=-2,-=-2,=4(x1x20,x1+x2=-m,x1x2=1-.|AB
10、|=,O到AB的距离d=,=2,SABC=3SOAB=3=.综上可知,SABC为定值.【自我检测】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得y2-2pmy-6p=0,y1+y2=2pm,y1y2=-6p,则x1x2=9.由=x1x2+y1y2=+y1y2=9-6p=6,解得p=,抛物线E的方程为y2=x.(2)证明:由题知,k1=,k2=,=m+,=m+,+-2m2=+-2m2=2m2+12m+36-2m2=2m2+12m+36-2m2.由(1)可知,y1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3,+-2m2=2m2+12m+36m2+69-2m2=24,+-2m2为定值.解答3
11、例3解:(1)证明:设点P(x,y)(x0),则y2=1-,kPAkPB=y-1x=-,故得证.(2)假设存在直线l满足题意.显然当直线l的斜率不存在时,直线与椭圆C不相交.当直线l的斜率k0时,设直线l的方程为y=k(x+2),由化简得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0,由=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)0,解得-k0,解得k.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=-+4=.=2,=2,解得k=,满足0.存在符合题意的直线l,此时直线l的方程为y=x+2.备选理由 所给三道例题,都是围绕定点、定值及存在性问题展开,综合性强,运
