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1、第二章 2.3 2.3.1A级基础巩固一、选择题1一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是(B)A(0，90)B0，90C(0，90D0，180解析由线面角的定义知B正确2在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(B)A1B2C3D6解析仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为(D)A1B2C3D4解析PA平面ABCD，PAAB，PAAD，PABC，PACD.BC平面PABBCPB由CD平面PADCDPD.PAB，PAD，PBC，PCD都是直角三角形4直线a与平面所成
2、的角为50，直线ba，则直线b与平面所成的角等于(B)A40B50C90D150解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与所成的角也是50.5给出下列三个命题：一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直其中正确的个数是(C)A0B1C2D3解析中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；根据射影定义知正确故选C6.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA
3、2AB，则下列结论正确的是(D)APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45解析设AB长为1，由PA2AB得PA2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA平面ABC，所以PAAD，所以PAD为直角三角形PAAD，PDA45，PD与平面ABC所成的角为45，故选D二、填空题7已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_外心_(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)解析P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心8等腰直角三角形ABC的斜边A
4、B在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_45_.解析如图，设C在平面内的射影为O点，连结AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角设ACBC1，则AB，CM，CO.sinCMO，CMO45.三、解答题9.如图，在三棱锥ABCD中，CACB，DADB.作BECD，E为垂足，作AHBE于H.求证：AH平面BCD.解析取AB的中点F，连接CF、DF.CACB，DADB，CFAB，DFAB.CFDFF，AB平面CDF.CD平面CDF，ABCD.又CDBE，ABBEB，CD平面ABE.AH平面ABE，CDAH.AHBE，BECDE，AH平面BCD.10.如图在三棱锥P
5、ABC中，PAPBPC13，ABC90，AB8，BC6，M为AC的中点.(1)求证：PM平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值解析(1)PAPC，M为AC的中点，PMAC.又ABC90，AB8，BC6，AMMCMBAC5.在PMB中，PB13，MB5.PM12.PB2MB2PM2，PMMB.由可知PM平面ABC.(2)解：PM平面ABC，MB为BP在平面ABC内的射影，PBM为BP与底面ABC所成的角在RtPMB中tanPBM.B级素养提升一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(B)AACBBDCA1D1DA1
6、A解析BDAC，BDA1A，ACA1AA，BD平面ACC1A1.又CE平面ACC1A1，BDCE.2空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(C)A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO、CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C3如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是ABC的(C)A外心B内心C垂心D重心解析PCPA，PCPB，PAPBP，PC平面PAB.又AB平面PAB，ABPC.又ABPH，PHPCP，AB平面PCH.又CH平面
7、PCH，ABCH.同理BCAH，ACBH.H为ABC的垂心4如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(D)ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60解析ADBC，BCB1为异面直线AD与CB1所成的角又B1BC为等腰直角三角形，故BCB145.即异面直线AD与CB1所成的角为45.二、填空题5已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_菱形_.解析由于PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又PCBD，且PC平面PAC，PA平面PAC，PCPAP，所以BD平面PAC.又AC平面PA
8、C，所以BDAC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形6如图所示，已知在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_2，)_.解析因为PA平面AC，QD平面AC，PAQD.又PQQD，PAPQP，QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.C级能力拔高1如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1
9、B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解析当F为CD的中点时，D1E平面AB1F.连接A1B、CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1，又D1E面A1BCD1，AB1D1E.又DD1平面BD，AFDD1.又AFDE，AF平面D1DE，AFD1E.D1E平面AB1E.即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F. 2如图，在锥体PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，E，F分别是BC，PC的中点求证：AD平面DEF.证明取AD的中点G，连接PG，BG.因为PAPD，所以ADPG.设菱形ABCD边长为1.在ABG中，因为GAB60，AG，AB1，所以AGB90，即ADGB.又PGGBG，所以AD平面PGB，从而ADPB.因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EFPB，从而ADEF.易证DEGB，且ADGB，所以ADDE，因为DEEFE，所以AD平面DEF.
