《2019届高考数学（理）新课堂课件：8.3-点、直线、平面之间的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学（理）新课堂课件：8.3-点、直线、平面之间的位置关系（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲点 直线 平面之间的位置关系 1 平面基本性质即四条公理的 图形语言 文字语言 符号语言 列表 续表 2 空间线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 锐角或直角 0 90 过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a 与b 那么直线a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 其范围是 1 在下列命题中 不是公理的是 A A 平行于同一个平面的两个平面相互平行B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析 选项B C D说法均不需证明 也无
2、法证明 是公理 选项A可以推导证明 故是定理 故选A 2 下列命题正确的是 C A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 3 如图8 3 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为棱C1D1 C1C的中点 有下列四个结论 直线AM与CC1是相交直线 直线AM与BN是平行直线 直线BN与MB1是异面直线 直线AM与DD1是异面直线 其中正确的结论为 图8 3 1 解析 A M C1三点共面
3、且在平面AD1C1B中 但C平面AD1C1B 因此直线AM与CC1是异面直线 同理AM与BN也是异面直线 AM与DD1也是异面直线 错 正确 M B B1三点共面 且在平面MBB1中 但N平面MBB1 因此直线BN与MB1是异面直线 正确 答案 D 4 若A B A l B l P l 则 A P B P D P C l 考点1 平面的基本性质 例1 若直线l不平行于平面 且l 则 A 内的所有直线与l异面B 内不存在与l平行的直线C 内存在唯一的直线与l平行D 内的直线与l都相交 解析 不妨设直线l M 过点M的 内的直线与l不异面 故A错误 假设存在与l平行的直线m 则由m l 得l 这与
4、l M矛盾 故B正确 C显然错误 内存在与l异面的直线 故D错误 故选B 答案 B 规律方法 直线在平面内也叫平面经过直线 如果直线不在平面内 记作l 包括直线与平面相交及直线与平面平行两种情形 反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和研究点 线 面位置关系的基础 三个公理也是立体几何作图和逻辑推理的依据 公理1是判断直线在平面内的依据 公理2的作用是确定平面 这是把立体几何转化成平面几何的依据 公理3是证明三 多 点共线或三线共点的依据 互动探究 1 下列推断中 错误的是 C A A l A B l B l B A A B B ABC l A l A D A B C A B C 且A B
5、C不共线 重合 考点2 空间内两直线的位置关系 例2 1 如图8 3 2 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是BC1 CD1的中点 则下列判断错误的是 图8 3 2 A MN与CC1垂直C MN与BD平行 B MN与AC垂直D MN与A1B1平行 答案 D 2 2016年上海 如图8 3 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BC BB1的中点 则下列直线中与直线EF相交的 是 图8 3 3 A 直线AA1 B 直线A1B1 C 直线A1D1 D 直线B1C1 解析 只有B1C1与EF在同一平面内 是相交的 A B C中的直线与EF都是异面直线 故选D 答案 D
6、 规律方法 判断直线是否平行比较简单直观 可以利用公理4 判断直线是否异面则比较困难 掌握异面直线的两种判断方法 反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行或相交 再由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设 肯定两条直线异面 在客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该点的直线是异面直线 互动探究 2 如图8 3 4所示的是正方体和正四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形是 填上所 有正确答案的序号 图8 3 4 3 如图8 3 5 G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则使直线GH MN是异面直线的图形有
7、 填上所有正确答案的序号 图8 3 5 解析 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点在三棱柱的侧面上 MG与这个侧面相交于点G M平面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 图 中 G M N共面 但H平面GMN 因此GH与MN异面 答案 考点3 异面直线所成的角 例3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 1 求AC与A1D所成角的大小 2 若E F分别为AB AD的中点 求A1C1与EF所成角的大小 解 1 如图8 3 6 连接AB1 B1C 由ABCD A1B1C1D1是正方体 易知A1D B1C 从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D
8、所成的角 图8 3 6 AB1 AC B1C B1CA 60 即A1D与AC所成的角为60 2 如图8 3 7 连接AC BD 图8 3 7 在正方体ABCD A1B1C1D1中 AC BD AC A1C1 E F分别为AB AD的中点 EF BD EF AC EF A1C1 即A1C1与EF所成的角为90 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 互动探究 4 如图8 3 8 已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形 C是圆柱下底面弧AB的中点 C1是圆柱上底面弧A1B1的中点 那么异面直线A
9、C1与BC所成角的正切值为 图8 3 8 解析 如图D56 取圆柱下底面弧AB的另一中点D 连接C1D AD 则因为C是圆柱下底面弧AB的中点 所以AD BC 图D56 所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角 因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点 所以C1D垂直于圆柱下底面 所以C1D AD 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形 考点4 三点共线 三线共点的证明 例4 如图8 3 9 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB和AA1的中点 求证 图8 3 9 1 E C D1 F四点共面 2 CE D1F DA三线共点 证明 1 如图8 3 10 连接EF CD
10、1 A1B E F分别是AB AA1的中点 EF BA1 又A1B D1C EF CD1 E C D1 F四点共面 图8 3 10 CE与D1F必相交 设交点为点P 如图8 3 10 则由点P CE CE 平面ABCD 得点P 平面ABCD 同理点P 平面ADD1A1 又平面ABCD 平面ADD1A1 DA 点P 直线DA CE D1F DA三线共点 规律方法 证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一点 再证明此交点在另一条线上 把三线共点的证明转化为三点共线的证明 要证明D A P三点共线 由公理3知 只要证明D A P都在两个平面的交线上即可 证明多点共线问题 可由两点连一条直线 再验证其他
11、各点均在这条直线上 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 互动探究 5 在空间四边形ABCD的边AB BC CD DA上分别取E F G H四点 若EF与GH交于点M 则 A A 点M一定在AC上B 点M一定在BD上C 点M可能在AC上 也可能在BD上D 点M既不在AC上 也不在BD上解析 点M在平面ABC内 又在平面ADC内 故必在交线AC上 6 如图8 3 11 ABCD A1B1C1D1是正方体 O是B1D1的中 点 直线A1C交平面AB1D1于点M 则下列结论错误的是 图8 3 1
12、1 D A A M O三点共线B A M O A1四点共面C A O C M四点共面D B B1 O M四点共面 难点突破 利用平移求异面直线所成的角例题 2016年新课标 平面 过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A 平面CB1D1 平面ABCD m 平面ABB1A1 n 则m n所成角的正弦值为 解析 如图8 3 12 设平面CB1D1 平面ABCD m 平面CB1D1 平面ABB1A1 n 因为 平面CB1D1 所以m m n n 则m n所成的角等于m n 所成的角 延长AD 过D1作D1E B1C 交AD延长线于点E 连接CE B1D1 则CE为m 同理B1F1为n 而BD CE B1F1 A1B 则m n 所成的角即为A1B BD所 图8 3 12 成的角 即为60 故m n所成角的正弦值为 故选A 答案 A 规律方法 求异面直线所成角的基本方法就是平移 有时候平移两条直线 有时候只需要平移一条直线 直到得到两条相交直线 最后在三角形或四边形中解决问题 互动探究 图D57答案 C
