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1、第三节函数的奇偶性与周期性考纲传真1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存
2、在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原
3、点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C. DB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2x Byx2cos xCy2x Dyx2sin xDA项，定义域为R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数，故不符合题意
4、；B项，定义域为R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故为非奇非偶函数4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0C1 D2Bf(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.5(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为3,4，则在区间b，a上有()A最大值4 B最小值4C
5、最大值3 D最小值3B法一：根据题意作出yf(x)的简图，由图知，选B.法二：当xb，a时，xa，b，由题意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，4f(x)3，即在区间b，a上f(x)min4，f(x)max3，故选B.判断函数的奇偶性【例1】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数C对于A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错对于B：令h
6、(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错对于C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确对于D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错(2)判断下列函数的奇偶性f(x)lg；f(x)ln(x)；f(x)；f(x).解由0得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，关于原点对称又f(x)lglglgf(x)f(x)为奇函数f(x)
7、的定义域为R，f(x)(lnx)lnln(x)f(x)，f(x)为奇函数由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数规律方法1.判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2判断分段函数
8、奇偶性应注意的问题判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性如本例(2)第小题 (1)设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A|g(x)|是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数 Df(x)g(x)是奇函数Df(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(x)
9、|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.(2)判断下列函数的奇偶性f(x)ln(ex)ln(ex)；f(x)；f(x).解由得exe，即函数f(x)的定义域为(e，e)，关于原点对称又f(x)ln(ex)ln(ex)f(x)，所以函数f(x)是偶函数由2x10得x0，即函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数函数f(x)的定义域为(，0
10、)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)21x21f(x)，当x0时，x0，则f(x)(x)21x21f(x)，综上所述，f(x)f(x)因此函数f(x)是奇函数函数奇偶性的应用【例2】(1)(2018全国卷)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.(3)函数f(x)为奇函数，则a_.(1)2(2)(3)1(1)由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln 1ln(a)1312.(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0时，x0，f(x)x2
11、4x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)(3)由题意得f(1)f(1)0，即2(a1)0，解得a1，经检验，a1时，函数f(x)为奇函数规律方法已知函数奇偶性可以解决的4个问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特殊值求解.如利用f(1)f(1)直接求参数的值.(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区
12、间上的图象. (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则g(f(8)()A1 B2C1 D2(2)已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0C1 D2(3)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则f(x)_.(4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.(1)A(2)B(3)(4)(1)因为f(x)为奇函数，所以f(8)f(8)log392，所以g(f(8)g(2)f(2)f(2)log331.(2)设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.(3)当x0时，x0，则f(x)ex1x，又f(x)f(x)，因此f(x)ex1x.所以f(x).(4)由题意知f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)212(1)1.函数的周期性及应用【例3】(1)(2019沈阳模拟)函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为()A. B
