《河南南阳市一中2018届高三第十二次考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河南南阳市一中2018届高三第十二次考试数学（理）试题（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南阳一中2018届高三第十二次考试理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 利用分式不等式的解法化简集合 或 ，根据指数函数的性质化简,所以，故选B.2.复数满足,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数满足,所以 ,故选B.3.已知等差数列,前项和为,则( )A. 140B. 280C. 168D. 56【答案】A【解析】由等差数列的性质得，其前项之和为，故选A.4.已知的终边上有一点,则( )A. B. C. D. 【答案】
2、D【解析】因为的终边上有一点,所以 ，故选D.5.设有下面四个命题：“若，则与夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题若,则“”是“或”的充分不必要条件命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【详解】“若，则与的夹角为锐角,” 向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题均为真，故错误；命题若,则，故错误；原命题等价于“且”是“”的充分不必要条件，故正确；命题中，若，故 正确，故选B.6.设函数若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】因为函数若,所以或，解得或，即实数的取值范围是故选C.7.某四棱
3、锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的棱长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.【详解】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD，最长的棱为PA，则最长的棱长为，故选A【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.8.变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】C【解析】【详解】将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C考点：线性规划9.执行如图
4、所示的程序框图，输出的为( )A. 3B. C. D. -2【答案】C【解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，可知此循环是以为周期，反复循环，由，可知第次循环，此时不满足条件，结束循环，输出的为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规
5、定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知双曲线的右焦点为,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】，由双曲线的对称性知在轴上，设，由，得，则，又到直线的距离小于，则，解得，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是，故选B.11.已知平面截球的球面得圆，过圆心的平面与的夹角为，且平面截球的球面得圆，已知球的半径为5，圆的面积为，则圆的半径为( )A. 3B. C. 4D. 【答案】B【解析】如图，因为球的半径为，圆的面积为，所以，因为过圆心的平面与的夹角为，所以与成的锐角
6、为，又，即圆的半径为 ，故选B.12.已知只有50项的数列满足下列三个条件：;；.对所有满足上述条件的数列共有个不同的值，则( )A. 10B. 11C. 6D. 7【答案】C【解析】设中有项取值，由条件知，取值的项数为，取值的项数为，再由条件得，解得，又若为偶数，则为偶数，因为，所以必为奇数，故，它们对应个不同的值，共有个不同的值，故选C.【方法点睛】本题主要考查数列求和以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是
7、将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将的不同值的个数，转化为中的个数问题是解题的关键.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为_【答案】【解析】区域是正方形，面积为，根据定积分定理可得直线与曲线围成区域的面积为，根据几何概型概率公式，可得该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为，故答案为.14.的展开式中的系数是_.(用数字作答)【答案】【解析】令展开式中，当时，当时，代入，得到的系数是15.已知为圆
8、的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为_【答案】6【解析】由圆可得，圆的半径为 ，圆心到直线的距离，的最小值为，故答案为.16.在锐角中，分别为角所对的边，满足,且的面积,则的取值范围是_【答案】【解析】由，结合正弦定理可得，锐角三角形，即，故答案为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦
9、公式进行解答.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知为单调递增数列，为其前项和，()求的通项公式；()若为数列的前项和，证明：.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）由得，所以,整理得,所以是以为首项，为公差的等差数列，可得；（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得的前项和，利用放缩法可得结论.试题解析：（）当时，,所以，即,又为单调递增数列，所以.由得，所以,整理得所以.所以，即,所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.()所以.【方法点晴】本题主要考查数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项
10、相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面.()求证：平面平面；()延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）由于直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,利用面面垂直的性质可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由()可知两两垂
11、直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，的坐标为，求得，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，进而可得，进而可得结果.试题解析：()直角梯形中，直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，,又平面平面，平面，平面平面.()由()可知两两垂直.分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知,所以，设是平面的法向量，则，即，取，得.设的坐标为，则,由,得,所以，当时，,点到点的距离的最小值为.19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应
12、的折线图.()由折线图得，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系.求关于的线性回归方程，并预测公司2017年5月份（即时）的市场占有率；()为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不形同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用
13、寿命的概率，如果你是公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程为，其中）【答案】(1) 线性回归方程为 ，公司2017年5月份的市场占有率预计为23% (2) 应该采购款单车【解析】试题分析：（1）根据折线图及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程，将代入回归方程即可得结果；（2）根据表格中的数据，算出每辆款车可使用年的概率，从而可得每辆款车可产生的利润期望值，同理可得每辆款车可产生的利润期望值，比较两期望值的大小即可得出结论.试题解析：()计算可
14、得,.月度市场占有率与月份序号之间的线性回归方程为.当时，.故公司2017年5月份的市场占有率预计为23%.()由频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2、0.35、0.35和0.1，每辆款车可产生的利润期望值为（元）.频率估计概率，每辆款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2，每辆款车可产生的利润期望值为：（元），应该采购款单车.【方法点晴】本题主要考查折线图的应用与线性回归方程，以及离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知抛物线的焦点为 ，过点且斜率为的直线交曲线于两点，交圆于两点（两点相邻）.()若，当时，求的取值范围；()过两点分别作曲线的切线，两切线交于点，求与面积之积的最小值.【答案】(1) (2)取最小值1【解析】试题分析：（1）直线方程为，代入得,根据韦达定理以及向量共线的条件可得，结合可得的取值范围；（2）利用导数的几何意义以及直线的点斜式方程可得切线方程为 ，方程为 ，两式联立结合韦达定理可得，利用点到直线距离公式、焦半径公
