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1、2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1（4分）下列图中阴影部分面积与算式|+（）2+21的结果相同的是（）ABD2（4分）如图，ACB=60，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A2B4C2D43（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A4B5C6D84（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题
2、多多少道（）A15B20C25D305（4分）已知BD是ABC的中线，AC=6，且ADB=45，C=30，则AB=（）AB2C3D6二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6（5分）满足方程|x+2|+|x3|=5的x的取值范围是 7（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b3c=1，若m=3a+b7c，则m的最小值为 8（5分）如图所示，设M是ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+= 9（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部
3、及其边界上的整点个数有 个10（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，OCB的外接圆与y轴交于A（0，），OCB=60，COB=45，则OC= 11（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是 三、简答题（共4小题，满分50分）12（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分请将三个班分别射中内环、中环、
4、外环的次数填入下表并简要说明理由：班级 内环中环 外环 （1）班 （2）班 （3）班 13（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限（1）确定a，b，b24ac的符号，简述理由（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3，求抛物线的解析式14（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且CAD=60，DC=DE求证：（1）AB=AF；（2）A为BEF的外心（即BEF外接圆的圆心）15（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原
5、点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN内切圆的半径2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）1（4分）下列图中阴影部分面积与算式|+（）2+21的结果相同的是（）ABD【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出
6、四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项【解答】解：原式=+=A、作TEX轴，TGY轴，易得，GTFETD，故阴影部分面积为11=1；B、当x=1时，y=3，阴影部分面积13=；C、当y=0时，x=1，当x=0时，y=1阴影部分面积为1（1）1=1；D、阴影部分面积为xy=2=1故选B【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答2（4分）如图，ACB=60，半径为2的O切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A2B4C2D4【分析】连接OC，OB，OD
7、，OO，则ODBC因为OD=OB，OC平分ACB，可得OCB=ACB=60=30，由勾股定理得BC=2【解答】解：当滚动到O与CA也相切时，切点为D，连接OC，OB，OD，OO，ODAC，OD=OBOC平分ACB，OCB=ACB=60=30OC=2OB=22=4，BC=2故选：C【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题3（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A4B5C6D8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况【解答】解：设12可分成mn，则p=m+n（m，n同号），m
8、=1，2，3，n=12，6，4，p=13，8，7，共6个值故选C【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系4（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（）A15B20C25D30【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解【解答】解：设容易题有x道，中档
9、题有y道，难题有z道，由题意得，2得，zx=20，所以，难题比容易题多20道故选B【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便5（4分）已知BD是ABC的中线，AC=6，且ADB=45，C=30，则AB=（）AB2C3D6【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解【解答】解：过点B作BEAC交AC于点E如下图设BE=x，BDA=45，C=30，DE=x，BC=2x，tanC=，=tan30，3x=（3+x），解得x=，在RtABE中，AE=DEAD=3=，由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB=3故选C【点评】本
10、题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）6（5分）满足方程|x+2|+|x3|=5的x的取值范围是2x3【分析】分别讨论x3，2x3，x2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x3时，原方程就可化简为：x+2+x3=5，解得：x=3；第二种：当2x3时，原方程就可化简为：x+2x+3=5，恒成立；第三种：当x2时，原方程就可化简为：x2+3x=5，解得：x=2；所以x的取值范围是：2x3【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大7（5分）已知三个非
11、负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b3c=1，若m=3a+b7c，则m的最小值为【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a0，b0，c0，求得m的取值范围而求得m的最小值【解答】解：由题意可得，解得a=3，b=7，c=，由于a，b，c是三个非负实数，a0，b0，c0，m所以m最小值=故本题答案为：【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法8（5分）如图所示，设M是ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且=m，=n，则+=1【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍可以分别过点B，C作B
12、EAD，CFAD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案【解答】解：分别过点B，C作BEAD，CFAD，交PQ于点E，F，则BEADCF，点D是BC的中点，MD是梯形的中位线，BE+CF=2MD，+=+=1【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理9（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有25个【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相
13、应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围【解答】解：将该二次函数化简得，y=（x4）2，令y=0得，x=或 则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，故答案为：25【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值10（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，OCB的外接圆与y轴交于A（0，），OCB=60，COB=45，则OC=1+【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，RtABO中，易知BAO=OCB=60，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BDOC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长【解答】解：连接AB，则AB为M的直径RtABO中，BAO=OCB=60，OB=OA=过B作BDOC于DRtOBD中，COB=45，则OD=BD=OB=RtBCD中，OCB=60，则CD=BD=1OC=CD+OD=1+故答案为
