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1、第三讲DISANJIANG柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.2C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)(a+b)2,即(a+b)24,所以-2a+b2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C2.已知4x+9y=2,x,y0,则x+y的最小值是()A.252B.254C.52D.5解析由4x+9y=2,可得x+y=(x)2+(y)22x2+3y2212x2x+y3y2=12(2+3)2=252.当且仅当x3y=y2x,即x=5,y=152时等号成立.答
2、案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()A.x=313,y=213B.x=213,y=313C.x=16,y=14D.x=14,y=16解析因为x2+y2=113(x2+y2)(32+22)113(3x+2y)2=113,所以当x2+y2有最小值113,当且仅当x3=y2时,等号成立,得x=313,y=213.答案A4.函数y=x-5+26-x的最大值是()A.3B.5C.3D.5解析根据柯西不等式,知y=1x-5+26-x12+22(x-5)2+(6-x)2=5,当且仅当6-x=2x-5,即x=265时,等号成立.答案B5.已知m2+n2=14,则2m+2n
3、的最大值为()A.32B.62C.6D.6解析由柯西不等式可得(m2+n2)(2)2+22(2m+2n)2,即146(2m+2n)2,则2m+2n62,故2m+2n的最大值为62.答案B6.导学号26394051若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.22RC.4RD.42R解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为4R2-x2,于是ABCD的周长l=2(x+4R2-x2)=2(1x+14R2-x2).由柯西不等式得l2x2+(4R2-x2)212(12+12)12=22R2=42R,当且仅当x1=4R2-x21,即x=2R时,等号成立.
4、此时4R2-x2=4R2-(2R)2=2R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为42R.答案D7.若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为.解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)(3x+4y)2,得25(x2+y2)4,所以x2+y2425当且仅当x3=y4时,等号成立.解方程组3x+4y=2,x3=y4,得x=625,y=825.因此,当x=625,y=825时,x2+y2取得最小值,最小值为425.答案4258.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=ab+cd,Q=ma+ncbm+dn,则P与Q的大小关系是.解析P=ambm+ncdn(am)2+(n
5、c)2bm2+dn2=am+ncbm+dn=Q当且仅当amdn=ncbm时,等号成立.答案PQ9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)(aman+bmbn)2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案210.函数y=x-4+25-5x的最大值为.解析y=x-4+25-5x,y=1x-4+55-x(1+5)(x-4+5-x)=6当且仅当5-x=5x-4,即x=256时等号成立.答案611.已知a,bR+,且a+b=1
6、,则12a+1b的最小值是.解析因为a,bR+,且a+b=1,所以12a+1b=(a+b)12a+1b,由柯西不等式得(a+b)12a+1ba12a+b1b2=22+12=32+2,当且仅当ab=b2a,且a+b=1,即a=2-1,b=2-2时,12a+1b取最小值32+2.答案32+212.已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsin2c,求证acos2+bsin2c.证明由柯西不等式得acos2+bsin2(acos)2+(bsin)2cos2+sin2=(acos)2+(bsin)2=acos2+bsin2c,故不等式成立.13.设a,bR+,且a+b=2.求证a22-a+b22-b
7、2.证明由柯西不等式,有(2-a)+(2-b)a22-a+b22-b=(2-a)2+(2-b)2a2-a2+b2-b22-aa2-a+2-bb2-b2=(a+b)2=4.则a22-a+b22-b4(2-a)+(2-b)=2当且仅当b2-a2-b=a2-b2-a时,等号成立.故原不等式成立.14.导学号26394052已知x2+y2=2,且|x|y|,求1(x+y)2+1(x-y)2的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=u+v2,y=u-v2.x2+y2=2,(u+v)2+(u-v)2=8,u2+v2=4.由柯西不等式,得1u2+1v2(u2+v2)4,当且仅当u2=v2=2,即x=2,y=0,或x=0,y=2时,1(x+y)2+1(x-y)2的最小值是1.15.导学号26394053求函数y=x2-2x+3+x2-6x+14的最小值.解y=(x-1)2+2+(3-x)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)2+2(3-x)2+5(x-1)2+2+(3-x)2+5+2(x-1)(3-x)+10=(x-1)+(3-x)2+(2+5)2=11+210.当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=32+52+5时,等号成立.此时ymin=11+210=(10+1)2=10+1.
