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1、函数的单调性 江苏省清江中学 第2 1 1小结开头的第三个问题 下图是某市一天24小时内的气温图 问题情境 问题情境 问题 1 说出气温在哪些时间段内是升高的 2 怎样用数学语言刻画 随着时间的增大气温逐步提高 这一特征 二 学生活动 问题1 观察下列函数的图象 指出图象变化的趋势 在区间 内 函数y 2x 1图象在该区间内呈逐渐上升趋势 问题1 观察下列函数的图象 指出图象变化的趋势 在区间 1 内 在区间 1 内 函数y x 1 2 1图象在该区间内呈逐渐下降趋势 函数y x 1 2 1图象在该区间内呈逐渐上升趋势 问题1 观察下列函数的图象 指出图象变化的趋势 在区间 0 内 函数y 图
2、象在该区间内呈逐渐下降趋势 函数y 图象在该区间内呈逐渐下降趋势 函数的这种性质称为函数的单调性 问题3 如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢 三 建构数学 例如 在区间 1 上当x的值增大时 函数y的值也增大的事实应当如何表述 能不能由于x 1时 y 3 x 2时 y 5 就说随着x的增大 函数值y也随着增大 函数的单调性 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 2 定义
3、 如果函数y f x 在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这个区间上具有 严格的 单调性 这个区间叫做y f x 的单调区间 一般地 对于函数y f x 的定义域为I 定义域I内某个区间 定义域I内某个区间 任意两个自变量 任意两个自变量 例 下图是定义在闭区间 5 5 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一个单调区间上 y f x 是增函数还是减函数 解 函数y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在区间 5 2 1 3 上是减函数 在区间 2 1 3 5 上是增函数 四 数学应用 例2作出下列函数的图
4、象 并写出函数的单调区间 1 y x2 2 2 y 提问 能不能说 函数y 上是单调减函数 1 函数y x2 2在 0 上是单调增函数 在 0 上是单调增函数减函数 2 函数y 在 0 上也是单调减函数 在 0 上是单调减函数 在 0 0 例3 观察下列函数的图象 并指出它们是否为定义域上的增函数 能不能不通过观察函数的图象就能知道函数的单调性呢 在不太好画出函数的图象时如何判断函数的单调性呢 函数y 1 x2 x 0 的是单调增函数 还是单调减函数呢 证明 条件 论证结果 结论 1 在这个区间上任取两个自变量x1 x2 且x1 x2 2 作差 作商 并将差f x1 f x2 化简变形成最简形
5、式 3 判断符号 4 得出结论 用函数单调性定义判定或证明函数单调性的一般步骤 例5试判断函数 证明 巩固练习 课本P37练习1 5 6 8 例6 已知函数f x 在 0 上是减函数 求f a2 a 1 与f 的大小解 因为f x 在 0 是减函数因为a2 a 1 a 2 0所以f a2 a 1 f 例7已知函数f x 在 1 3 上是减函数 且f 2a 1 f a 1 0 求实数a的范围 解得 所以实数a的取值范围是 解 由函数f x 在 1 1 上是减函数得 2a 1 a 1 1 2a 1 3 1 a 1 3 例7 求函数 解 由例5知 巩固练习 课本P37练习3 方法二 分析函数值y随自变量x大小的变化情况 方法一 观察函数的图象 方法三 利用函数单调性的定义 判断函数单调区间的常用方法 五 回顾小结 本节课主要学习了函数单调性的概念 判断函数在某个区间上的单调性的方法以及函数单调性的一些简单运用 1 在这个区间上任取两个自变量x1 x2 且x1 x2 2 作差 并将差f x1 f x2 化简变形成最简形式 有时也通过作商比较f x1 与f x2 的大小 3 判断f x1 f x2 符号 4 得出结论 用函数单调性定义判定或证明函数单调性的一般步骤 课后作业课本P372 4 5
