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1、小专题(六)特殊平行四边形的性质与判定1 如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG.(1)求证：AECG；(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想解：(1)证明：四边形ABCD，DEFG都是正方形，ADCD，DEDG，ADCGDE90 .ADCADGGDEADG，即CDGADE.ADECDG(SAS)AECG.(2)猜想：AECG.证明：设AE与CG相交于点M，AD与CG相交于点N.ADECDG，DAEDCG.又ANMCND，AMNADC90 .AECG.2如图，在ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，CFAE，连接AF，BF.(1)求证：四边
2、形BFDE是矩形；(2)若CF6，BF8，DF10，求证：AF是DAB的平分线证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.CFAE，BEDF.四边形BFDE为平行四边形DEAB，DEB90 .四边形BFDE是矩形(2)四边形BFDE是矩形，BFD90 .BFC90 .在RtBFC中，由勾股定理得BC10.ADBC10.又DF10，ADDF.DAFDFA.ABCD，DFAFAB.DAFFAB.AF是DAB的平分线3(2018北京)如图，在四边形ABCD中，ABDC，ABAD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分BAD，过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四
3、边形ABCD是菱形；(2)若AB，BD2，求OE的长解：(1)证明：ABDC，BACDCA.AC平分BAD，DACBAC.DACDCA.ADCD.ABAD，ABCD.四边形ABCD是平行四边形又ABAD，四边形ABCD是菱形(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，BDAC.AOB90 ，BOBD1.在RtAOB中，由勾股定理，得AO2.CEAB，AEC90 .在RtACE中，点O是斜边AC的中点，OEAO2.4.如图，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. (1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
4、(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，NDAM.NDEMAE，DNEAME.又点E是AD边的中点，DEAE.NDEMAE(AAS)NDMA.四边形AMDN是平行四边形(2)当AM的长为1时，四边形AMDN是矩形理由如下：AM1ADAE，DAB60 ，AEM是等边三角形AMEAEM60 ，EMAEED.EMDEDM30 .AMDAMEEMD90 .四边形AMDN是矩形5如图1，在ABCD中，AF平分BAD交BC于点F，CE平分BCD交AD于点E.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BEEC，求证：四边形ABFE是菱
5、形图1图2证明：(1)AF平分BAD，CE平分BCD，FAEBAE，FCEFCD.四边形ABCD是平行四边形，BAEFCD，ADBC.FAEFCE，FCECED.FAECED.AFEC.又AECF，四边形AFCE为平行四边形(2)AFEC，BEEC，AFBE.AOEAOB90 .在ABO和AEO中，ABOAEO(ASA)BOEO.ADBC，EAFAFB.AF平分BAD，BAFEAF.AFBBAF.又AOBFOB90 ，BOBO，ABOFBO(AAS)AOFO.四边形ABFE是平行四边形又AFBE，四边形ABFE是菱形6如图所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，
6、CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？解：(1)能说明四边形EHFG是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，AB CD.而AEAB，CFCD，AE CF.四边形AECF是平行四边形GFEH.同理可得GEHF.四边形EHFG是平行四边形(2)当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形由(1)知，四边形EHFG是平行四边形连接EF.当四边形ABCD是矩形时，四边形EBCF也是矩形，EHFH，四边形EHFG是菱形(3)当四边形ABCD是矩形且AB2AD时，四边形EHFG是正方形由(2)知，当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形又由AB2AD可知，四边形EBCF是正方形根据正方形的性质知，ECBF，即EHF90 ，四边形EHFG是正方形
