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1、函数的性质 一 一 函数的奇偶性 1 若f x 是偶函数 那么f x f x 若f x 是奇函数 那么f x f x 2 定义域含零的奇函数必过原点 可用于求函数表达式中的参数 3 判断函数奇偶性可用定义的等价形式 f x f x 0 4 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶性 5 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 6 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 例1 若函数f x 2sin 3x x 2 5 3 为奇函数 其中 0 2 则 的值是 0 注 例2
2、 判断下列函数的奇偶性 1 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 2 3 4 例3 已知函数f x ax2 bx c 2a 3 x 1 是偶函数 则a b c 1 0 R 例4 设f x x R 是以3为周期的奇函数 且f 1 1 f 2 a 则 A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 D B 例5 已知奇函数f x 在x 0时的表达式为f x 2x 则当x 时 有 A f x 0 B f x 0 C f x f x 0 D f x f x 0 例6 已知y f x 1 是偶函数 则y f x 的图象关于 A 直线x 1 0对称B 直线x 1 0对称C 直线x 1 2 0对称D y轴对
3、称 A 2 函数的单调性 1 一般地 设函数f x 的定义域为M 如果对于属于定义域M内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是增函数 如果对于属于定义域M内某个区间上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 2 函数是增函数还是减函数 是对定义域内某个区间而言的 有的函数在一些区间上是增函数 而在另一些区间上可能是减函数 例如函数y x2 当x 0 时是增函数 当x 0 时是减函数 3 单调区间如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么就说函数
4、y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 这一区间叫做y f x 的单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 4 用定义证明函数单调性的步骤证明函数f x 在区间M上具有单调性的步骤 1 取值 对任意x1 x2 M 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 判定差的正负 4 根据判定的结果作出相应的结论 5 用导数求函数单调性的步骤 1 求导 对函数f x 求导数得到f x 2 解不等式f x 0或f x 0 3 根据解的结果作出相应的结论 注意 在一般情况下可以解不等式f x 0或f x 0 6 复合函数的单调性复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u
5、g x y f u 的单调性密切相关 其规律如下 例1 下列函数中 在区间 0 上是增函数的是 A f x x2 4x 8 B g x ax 3 a 0 C h x 2 x 1 D s x log2 x B 例2 定义在区间 的奇函数f x 为增函数 偶函数g x 在区间 0 的图象与f x 的图象重合 设a b 0 给出下列不等式 f b f a g a g b f b f a g a g b f a f b g b g a f a f b g b g a 其中成立的是 A 与 B 与 C 与 D 与 D 例3 如果函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 那么实数a的取值
6、范围是 A 3 B 3 C 3 D 3 B 例4 函数的减区间是 函数的减区间是 1 1 1 1 例5 函数f x log1 2 x2 3x 2 的减区间是 A 1 B 2 C 1 32 D 32 2 C 例6 已知函数在区间 2 上为增函数 则实数a的取值范围是 综合练习 1 定义在 1 1 上的奇函数f x 是减函数 解关于a的不等式 f 1 a f 1 a2 0 解 f 1 a f 1 a2 0 f 1 a f 1 a2 f a2 1 由不等式组 解得 不等式f 1 a f 1 a2 0的解集是 a 0 a 1 2 设a 0 f x 是R上偶函数 1 求a的值 2 证明函数f x 在 0
7、 上是增函数 解 1 x R f x f x a 1 a 0 a 1 2 设00 x2 0 x1 x2 0 x1 x2 0ex2 x1 1 01 ex2 x1 0 f x1 f x2 0即f x1 f x2 f x 在 0 上是增函数反思 在函数中要注意定义域 本题考查的是函数的奇偶性与单调性 3 已知函数f x x 1 试求出f x 的反函数y f 1 x 的单调区间 解 函数f x x 1 的值域为0 y 1 它的反函数f 1 x 0 x 1 用函数增减性的定义证明该函数在0 x 1上是增函数 解2 考虑原函数的增减性 f x 当x 1时 y f x 为增函数 它的反函数也是增函数 4 已
8、知函数f x 4 x2 求函数f x2 2x 3 的递增区间 解 设F x f x2 2x 3 f u u x2 2x 3 对于函数u x2 2x 3 当x 1时 函数u为增函数 当x 1时 函数u为减函数 对于函数f u 4 u2 当u 0时 f u 为减函数 当u 0时 f u 为增函数 当x 3时 函数u为增函数且u 0 f u 为减函数 此时F x 为减函数 当1 x 3时 函数u为增函数且u 0 f u 为增函数 此时F x 为增函数 当 1 x 1时 函数u为减函数且u 0 f u 为增函数 此时F x 为减函数 当x 1时 函数u为减函数且u 0 f u 为减函数 此时F x 为
9、增函数 综上得 函数f x2 2x 3 的递增区间是 1 3 与 1 5 已知a 0 且a 1 f logax 1 求f x 的表达式 2 判定f x 的奇偶性及单调性 3 对f x 当x 1 1 时 有f 1 m f 1 m2 0 求m范围 解 1 令t logax 则x at f t 即f x 分析 从复合函数中求出f x 常用换元法 用性质转化为m的不等式组求m 2 f x f x f x 为奇函数设x1 x2 则f x1 f x2 1 0当0ax2 f x1 1时 0ax1 ax2 f x1 f x2 f x 为增函数 3 1 m 1且 1 m2 1 1 m 1 1 m2 11 m 1 m2 m 1 反思 1 证明单调性 用定义 此题中带有字母a 应对a进行讨论 2 对1 m 1 m2在定义域中应特别注意
