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1、第四章 导热问题的数值解,热工教研室王晓墨,目录,4-1导热问题数值解概述 4-2区域温度场的离散化4-3温度场节点方程的建立4-4节点方程的求解,分析解法的优点：求解过程中的数学分析较严谨；求解结果以函数形式表示，能清楚地显示各种因素对温度分布的影响,但是，工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的形状或边界条件，无法得出其分析解,数值计算方法 有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法,4-1导热问题数值解概述,数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化。,数值解法：有限差分法（finit
2、e-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element）,有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。,有限差分的数学基础是用差商代替微商（导数）。,几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。,图中用T0、T1、T2表示连续的温度场T；x为步长，它将区域的x方向划分为有限个数的区域，x0、x1、x2，它们可以相等，也可以不相等。当x相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c或d来表示，其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下
3、的温度随时间的变化率。,b为向后差分格式,c为向前差分格式,d为中心差分格式,对于二阶微商的差分格式,采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变化的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律的代数方程来表示。,当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后，我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示温度场的连续的温度分布。,导热问题进行数值求解时要采取三个步骤，即研究区域的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程（代数方程）的求解。,4-2区域温度场的离散化,导热问题的温度场是假设为时间和空间的连续函数，当进行数值求解时首先要做的事情是在所研究的时间和空间区域内把时间和空
4、间分割成为有限大小的小区域。,原来连续变化的温度场就被一个离散的阶跃变化的温度分布所代替。这就是连续变化的温度场离散化处理的基本思路。,在x方向上的步长为x，在y方向上的步长为y，用它们作为空间尺度可以将矩形区域划分成纵横交错的网格，交点称为节点。,以节点为中心，在两个节点的中心处划分界限，定出节点的控制面积，对于三维情况则为控制体积或控制容积，因而常在一般意义上称之为节点的控制体。,4-3温度场节点方程的建立,为了得出所研究区域的节点温度，必须建立相应的节点方程。,建立节点方程可以采用不同的方法，为了更好地理解节点方程的物理意义和掌握节点方程的建立方法，我们采用控制体热平衡法来建立节点方程。
5、 （Energy balance method）,控制体热平衡法建立节点方程的过程是将能量守恒方程应用于控制体，建立该节点与周围节点之间的能量平衡关系式，再利用傅立叶的导热定律，最后获得控制体节点温度与周围节点温度之间的关系式。,1 控制体的内节点方程,考察图中的节点P及其控制体，由能量平衡关系应有:,式中，QW、QE、QS和QN分别为邻近节点W、E、S和N通过传导方式传给节点P的热流量；,QV为单位时间控制体内热源的发热量；为控制体单位时间内热能的增加量。,控制体的发热量,qV为单位时间单位体积的内热源发热量。,由导热傅立叶定律,前者为时间上的向前差分，而后者为时间上向后差分。,代入热平衡关
6、系式：,显示差分格式：,控制体单位时间的内能增加量为 ：,隐示差分格式:,显示差分格式最突出的优点是节点温度表达式的右边只涉及K时刻的节点温度值，那么只要知道这一时刻周围节点的温度值就可以求出该节点的下一时刻的温度值；,而隐示差分格式却相反，温度表达式的两端都是同一K时刻的节点温度值，这就意味着必须同时计算同一时刻所有节点的温度值，即必须联立求解K时刻所有节点的差分方程组，,2 控制体的边界节点方程,1）.对流换热边界条件下的节点方程。,边界节点P，其控制体的热平衡关系式为,在对流换热边界条件下的节点差分方程（当x=y）时：,对于显示差分格式有,对于隐示差分格式有,2）.绝热边界条件下的节点方
7、程。,绝热边界节点P，其控制体的热平衡关系式为,绝热边界条件下的节点方程（当x=y）时：,对于显示差分格式,对于隐示差分格式有,4-4节点方程的求解,对应于离散温度场的每一个节点均可以列出相应的差分方程，这样就可以得出与节点数目相同的一组代数方程组。当联立求解这个代数方程组时，最后就可以得出每一个节点的温度值。,一般情况下，差分方程组是线性代数方程组，而线性代数方程组是可以用直接法和迭代法求解的。常用的直接法有高斯消元法、列主元素消去法和矩阵求逆法，而迭代法常用的有高斯赛德尔迭代和超（欠）松弛迭代。,介绍迭代法求解代数方程组的过程：,迭代求解该方程组的思路为，寻找一个由（T1，T2，Tn）组成的列向量，使其收敛于某一个极限向量（T1*, T2*,，Tn*）,且该极限向量就是该方程的精确解。,本章作业,4-3，4-9,
