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1、16 1二根次式 第十六章二次根式 第1课时二次根式的概念 新课标人教版八年级数学下册 1 理解二次根式的概念 重点 2 掌握二次根式有意义的条件 重点 3 会利用二次根式的非负性解决相关问题 难点 导入新课 情景引入 里约奥运会上 哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象 你能猜出下面表情包是谁吗 你们是根据哪些特征猜出的呢 下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频 注意前方高能表情包 通过表情包来辨别人物 最重要的是根据个人的特征 那么数学的特征是什么呢 数学根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 中科院数学与系统科学研究院李邦河 复习引入 问题1什么叫做平方根 一般地 如果一个数的平方等于a
2、 那么这个数叫做a的平方根 问题2什么叫做算术平方根 如果x2 a x 0 那么x称为a的算术平方根 用表示 问题3什么数有算术平方根 我们知道 负数没有平方根 因此 在实数范围内开平方时 被开方数只能是正数或0 思考用带根号的式子填空 这些结果有什么特点 1 如图 的海报为正方形 若面积为2m2 则边长为 m 若面积为Sm2 则边长为 m 2 如图 的海报为长方形 若长是宽的2倍 面积为6m2 则它的宽为 m 图 图 3 一个物体从高处自由落下 落到地面所用的时间t 单位 s 与开始落下的高度h 单位 m 满足关系h 5t2 如果用含有h的式子表示t 那么t为 问题1这些式子分别表示什么意义
3、 分别表示2 S 3 的算术平方根 上面问题中 得到的结果分别是 讲授新课 根指数都为2 被开方数为非负数 问题2这些式子有什么共同特征 归纳总结 一般地 我们把形如的式子叫做二次根式 称为二次根号 注意 a可以是数 也可以是式 例1下列各式中 哪些是二次根式 哪些不是 解 1 4 6 均是二次根式 其中a2 1属于 非负数 正数 的形式一定大于零 3 5 7 均不是二次根式 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析 典例精析 例2当x是怎样的实数时 在实数范围内有意义 解 由x 2 0 得 x 2 当x 2时 在实数范围内有意义 变式题1 当x是怎样
4、的实数时 下列各式在实数范围内有意义 解 由题意得x 1 0 x 1 解 被开方数需大于或等于零 3 x 0 x 3 分母不能等于零 x 1 0 x 1 x 3且x 1 要使二次根式在实数范围内有意义 即需满足被开方数 0 列不等式求解即可 若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时 应同时考虑分母不为零 变式题2 当x是怎样的实数时 下列各式在实数范围内有意义 解 1 无论x为何实数 当x 1时 在实数范围内有意义 2 无论x为何实数 x2 2x 3 x 1 2 2 0 无论x为何实数 在实数范围内都无意义 被开方数是多项式时 需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式 再进行分析讨
5、论 1 单个二次根式如有意义的条件 A 0 2 多个二次根式相加如有意义的条件 3 二次根式作为分式的分母如有意义的条件 A 0 4 二次根式与分式的和如有意义的条件 A 0且B 0 归纳总结 1 下列各式 一定是二次根式的个数有 A 3个B 4个C 5个D 6个 B 2 1 若式子在实数范围内有意义 则x的取值范围是 2 若式子在实数范围内有意义 则x的取值范围是 x 1 x 0且x 2 练一练 问题1当x是怎样的实数时 在实数范围内有意义 呢 前者x为全体实数 后者x为正数和0 当a 0时 表示a的算术平方根 因此 0 当a 0时 表示0的算术平方根 因此 0 这就是说 当a 0时 0 问
6、题2二次根式的被开方数a的取值范围是什么 它本身的取值范围又是什么 二次根式的实质是表示一个非负数 或式 的算术平方根 对于任意一个二次根式 我们知道 1 a为被开方数 为保证其有意义 可知a 0 2 表示一个数或式的算术平方根 可知 0 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例3若 求a b c的值 解 由题意可知a 2 0 b 3 0 c 4 0 解得a 2 b 3 c 4 所以a b c 2 3 4 3 多个非负数的和为零 则可得每个非负数均为零 初中阶段学过的非负数主要有绝对值 偶次幂及二次根式 典例精析 例4已知y 求3x 2y的算术平方根 解 由
7、题意得 x 3 y 8 3x 2y 25 25的算术平方根为5 3x 2y的算术平方根为5 变式题 已知a b为等腰三角形的两条边长 且a b满足 求此三角形的周长 解 由题意得 a 3 b 4 当a为腰长时 三角形的周长为3 3 4 10 当b为腰长时 三角形的周长为4 4 3 11 若 则根据被开方数大于等于0 可得a 0 已知 3x y 1 和互为相反数 求x 4y的平方根 解 由题意得3x y 1 0且2x y 4 0 解得x 1 y 2 x 4y 1 2 4 9 x 4y的平方根为 3 练一练 当堂练习 2 式子有意义的条件是 A x 2B x 2C x 2D x 2 3 当x 时
8、二次根式取最小值 其最小值为 1 下列式子中 不属于二次根式的是 C A 1 0 4 当a是怎样的实数时 下列各式在实数范围内有意义 5 1 若二次根式有意义 求m的取值范围 解 由题意得m 2 0且m2 m 2 0 解得m 2且m 1 m 2 m 2 2 无论x取任何实数 代数式都有意义 求m的取值范围 解 由题意得x2 6x m 0 即 x 3 2 m 9 0 x 3 2 0 m 9 0 即m 9 6 若x y是实数 且y 求的值 解 根据题意得 x 1 y y 7 先阅读 后回答问题 当x为何值时 有意义 解 由题意得x x 1 0由乘法法则得解得x 1或x 0即当x 1或x 0时 有意
9、义 能力提升 体会解题思想后 试着解答 当x为何值时 有意义 解 由题意得则解得x 2或x 即当x 2或x 时 有意义 课堂小结 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数 从而建立不等式求出其解集 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式中 a 0且 0 16 1二根次式 第十六章二次根式 第2课时二次根式的性质 新课标人教版八年级数学下册 1 经历二次根式的性质的发现过程 体验归纳 猜想的思想方法 重点 2 会运用二次根式的两个性质进行化简计算 难点 导入新课 情景引入 问题1下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅 算术平方根之门 平方之
10、门 0 4 1 a a 0 1 我们都是非负数哟 问题2若下列数字想从客厅出来 谁能顺利通过两扇门出来呢 算术平方根之门 平方之门 0 4 1 1 16 4 1 a a为任意数 我们都是非负数 可出来之前我们有正数 零和负数 思考你发现了什么 正方形的边长为 用边长表示正方形的面积为 又 面积为a 即 讲授新课 活动1如图是一块具有民族风的正方形方巾 面积为a 求它的边长 并用所求得的边长表示出面积 你发现了什么 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢 活动2为了验证活动1的结论是否具有广泛性 下面根据算术平方根及平方的意义填空 你又发现了什么 算术平方根 平方运算 024 a a 0 02
11、0 观察两者有什么关系 22 4 4 2 0 根据活动2直接写出结果 然后根据活动2的探究过程说明理由 是2的算术平方根 根据算术平方根的意义 是一个平方等于2的非负数 因此 同理 分别是0 4 的算术平方根 即得上面的等式 归纳总结 的性质 一般地 a a 0 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 注意 不要忽略a 0这一限制条件 这是使二次根式有意义的前提条件 典例精析 例1计算 解 2 可以用到幂的哪条基本性质呢 积的乘方 ab 2 a2b2 例2在实数范围内分解因式 解 本题逆用了在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式时 原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用 练一练
12、计算 解 平方运算 算术平方根 20 10 a a 0 2 观察两者有什么关系 填一填 a a 0 平方运算 算术平方根 2 0 1 2 观察两者有什么关系 a a 0 思考 当a 0时 a 归纳总结 a a 0 a a 0 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 的性质 例3化简 解 计算 练一练 解 辨一辨 请同学们快速分辨下列各题的对错 议一议 如何区别与 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方 后平方 先平方 后开方 a 0 a取任何实数 a a 意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根 例4实数a b在数轴上的对应点如图所示 请你
13、化简 解 由数轴可知a 0 b 0 a b 0 原式 a b a b a b a b 2a a b 变式题 实数a b在数轴上的对应点如图所示 化简 解 根据数轴可知b a 0 a 2b 0 a b 0 则 a 2b a b a 2b a b 3b 利用数轴和二次根式的性质进行化简 关键是要要根据a b的大小讨论绝对值内式子的符号 例5已知a b c是 ABC的三边长 化简 解 a b c是 ABC的三边长 a b c b c a b a c 原式 a b c b c a c b a a b c b c a b a c a b c b c a b a c 3a b c 分析 利用三角形三边关系
14、 三边长均为正数 a b c 两边之和大于第三边 b c a 0 c b a 0 用基本运算符号 包括加 减 乘 除 乘方和开方 把或连接起来的式子 我们称这样的式子为代数式 概念学习 数 表示数的字母 想一想到现在为止 初中阶段所学的代数式主要有哪几类 代数式 整式 分式 二次根式 1 一条河的水流速度是2 5km h 船在静水中的速度是vkm h 用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度 例6 解 1 船在这条河中顺水行驶的速度是km h 逆水行驶的速度是km h 2 如图 小语要制作一个长与宽之比为5 3的长方形贺卡 若面积为S 用代数式表示出它的长 2 设贺卡的长为5x 则宽
15、为3x 依题意得15x2 S 所以所以它的长为 列代数式的要点 要抓住关键词语 明确它们的意义以及它们之间的关系 如和 差 积 商及大 小 多 少 倍 分 倒数 相反数等 理清语句层次明确运算顺序 牢记一些概念和公式 归纳总结 1 在下列各式中 不是代数式的是 A 7B 3 2C D B 练一练 2 如图是一圆形挂钟 正面面积为S 用代数式表示出钟的半径为 方法总结 单个的数字或字母也是代数式 代数式中不能含有 或 等 当堂练习 1 化简得 A 4B 2C 4D 4 C 2 当1 x 3时 的值为 A 3B 3C 1D 1 D 3 下列式子是代数式的有 a2 b2 13 x 2 3 4 5 x
16、 1 0 10 x 5y 15 A 3个B 4个C 5个D 6个 C 4 化简 1 2 3 4 3 7 4 81 5 实数a在数轴上的位置如图所示 化简的结果是 1 6 利用a a 0 把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式 1 9 2 5 3 2 5 4 0 25 5 6 0 7 1 已知a为实数 求代数式的值 解 由题意得a 2 0 4 2a 0 a 2 2 已知a为实数 求代数式的值 解 由题意得 a2 0 又 a2 0 a2 0 a 0 能力提升 课堂小结 二次根式 性质 拓展性质 a a为全体实数 16 2二根次式的乘除 第十六章二次根式 第1课时二次根式的乘法 新课标人教版八年级数学下册 1 理解二次根式的乘法法则 重点 2 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算 难点 导入新课 情景引入 近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就 无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车 既体现了中华民族传统文化的意味 又契合了我国和平利用太空的意愿 下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频 问题1运用运载火箭发射航天行器时 火箭必须达到一定的速度 第一宇宙速度 才能克服地球的引力
