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1、圆锥曲线最经典题型研究 第一定义 第二定义 双曲线渐近线等考查 1 2010 辽宁理数 设双曲线的 个焦点为F 虚轴的 个端点为B 如果直线FB 与该双 曲线的一条渐 近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 2 2010 辽宁理数 设抛物线y 2 8x 的焦点为 F 准线为l P 为抛物线上一点 PA l A 为垂 足 如果直线AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 3 2010 上海文数 8 动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x的距离相等 则P的 轨迹方程为y2 8x 4 2010 全国卷2
2、 理数 15 已知抛物线 2 2 0 Cypx p 的准线为l 过 1 0 M且 斜率为3的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若A MM B 则p 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程式为y 1 x 2 则 等于 答案 1 5 已 知 椭 圆 2 2 1 2 x cy的 两 焦 点 为 12 F F 点 00 P xy满 足 2 20 0 01 2 x y 则 1 PF 2 PF 的取值范围为 直线 0 0 1 2 x x y y与椭圆 C 的公共点个数 6 已知点 P 是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右支上一点 21 F F 分别是
3、双曲线的左 右焦点 I 为 21F PF的内心 若 2121 2 1 FIFIPFIPF SSS 成立 则双曲线的 离心率为 A 4 B 5 2 C 2D 5 3 定义的考查 含性质 轨迹问题 8 2010 重庆理数 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线B 椭圆C 抛物线D 双曲线 解析 排除法轨迹是轴对称图形 排除A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除B 9 2010 四川理数 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为A 在椭圆上存在点P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率
4、的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点P 使得线段AP 的垂直平分线过点F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e 0 1 故 e 1 1 2 答案 D 10 2010 福建理数 若点 O和点 2 0 F分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y的中心和左焦点 点 P为双曲线右支上的任意一点 则OP FP的取值范围
5、为 A 3 23 B 32 3 C 7 4 D 7 4 离心率取值范围问题 含 普通取值范围问题 答案 B 11 北京市海淀区2010 年 4 月高三第一次模拟考试理科试题 已知有公共焦点的椭圆与双 曲线中心为原点 焦点在x轴上 左右焦点分别为 12 F F 且它们在第一象限的交点为P 12 PF F 是以 1 PF 为底边的等腰三角形 若1 10PF 双曲线的离心率的取值范围为 1 2 则该 椭圆的离心率的取值范围是 1 2 3 5 12 2010 年 4 月北京市西城区高三抽样测试理科 已知双曲线 2 2 1 3 y x的左顶点为 1 A 右焦点为 2 F P为双曲线右支上一点 则 12
6、PA PF的最小值为 2 13 北 京 市 东 城 区2010 届 高 三 第 二 学 期 综 合 练 习 理 科 直 线tx过 双 曲 线 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ab的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A B两点 若 原点在以AB为直径的圆外 则双曲线离心率的取值范围是 1 2 14 2010 全国卷 1 文数 已知 1 F 2 F为双曲线C 22 1xy的左 右焦点 点 P在 C上 1 FP 2 F 0 60 则 12 PFPF A 2 B 4 C 6 D 8 15 2010 全国卷 1 理数 9 已知 1 F 2 F为双曲线C 22 1xy的左 右焦点 点P在 C
7、 上 1 FP 2 F 0 60 则P到x轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 16 2010 重庆理数 14 已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx上的两点A B 满足3AFFB 则弦AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 ABC 中 AC 2m AB 4m 3 AB k 面积公式的考查 中点弦问题 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 17 2010 上海文数 已知椭圆的方程为 22 22 1 0 xy ab ab
8、0 Ab 0 Bb和 0 Q a为的三个顶点 1 若点 M满足 1 2 AMAQAB 求点M的坐标 2 设 直 线 11 lyk xp交 椭 圆于C D两 点 交 直 线 22 lyk x于 点E 若 2 12 2 b kk a 证明 E为CD的中点 3 设点P在椭圆内且不在x轴上 如何构作过PQ中点F的直线l 使得l与椭圆的 两个交点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ 令10a 5b 点P的坐标 是 8 1 若椭圆上的点 1 P 2 P满足 12 PPPPPQ 求点 1 P 2 P的坐标 解析 1 22 ab M 2 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy
9、ab 消 y 得方程 22222222 11 2 0a kbxa k pxapb 因为直线 11 lyk xp交椭圆于C D两点 所以 0 即 2222 10a kbp 设 C x1 y1 D x2 y2 CD 中点坐标为 x0 y0 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb 由方程组 1 2 yk xp yk x 消 y得方程 k2 k1 x p 又因为 2 2 2 1 b k a k 所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb 故 E 为
10、 CD 的中点 3 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上 所以点 F 在椭圆 内 可以求得直线OF 的斜率 k2 由 12 PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点 根据 2 可得直线l 的斜率 2 1 2 2 b k a k 从而得直线l 的方程 1 1 2 F 直线 OF 的斜率 2 1 2 k 直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P2 8 3 18 2010 全国卷 2 理数 21 本小题满分12 分 己知斜率为1 的直线l与双曲线C 22 22 100 x
11、y ab ab 相交于B D两点 且 BD的中点为1 3M 求C的离心率 设C的右顶点为A 右焦点为F 17DFBF 证明 过A B D三点的圆与x 轴相切 19 2010 安徽文数 椭圆E经过点2 3A 对称轴为坐标轴 与圆综合问题 角平分线问题 焦点 12 FF在x轴上 离心率 1 2 e 求椭圆E的方程 求 12 F AF的角平分线所在直线的方程 20 2010 全国卷 1 理数 21 本小题满分12 分 已知抛物线 2 4Cyx的焦点为F 过点 1 0 K的直线l与C相交于A B两点 点 A关于x轴的对称点为D 证明 点F 在直线 BD上 设 8 9 FA FB 求BDK的内切圆M的方
12、程 21 2010 江苏卷 在平面直角坐标系xoy中 如图 已知椭圆1 59 22 yx 的左 右顶点 为 A B 右焦点为F 设过点T mt 的直线TA TB 与椭圆分别交于点M 11 yx 22 yxN 其中 m 0 0 0 21 yy 1 设动点P 满足4 22 PBPF 求点 P的轨迹 2 设 3 1 2 21 xx 求点 T 的坐标 3 设 9t 求证 直线MN 必过 x 轴上的一定点 其坐 标与 m 无关 22 在直角坐标系xOy中 点 M 到点 0 3 0 3 21 FF的距离之和是4 点 M 的轨迹 是 C 与 x 轴的负半轴交于点A 不过点A 的直线bkxyl 与轨迹 C 交
13、于不同的两 点 P和 Q I 求轨迹 C 的方程 II 当0AQAP时 求 k 与 b 的关系 并证明直线l过 定点 定点问题 解 1 0 3 0 3 到点M的距离之和是4 M的轨迹 C 是长轴为4 焦点在x 轴上焦中为32的椭圆 其方程为 1 4 2 2 y x 3 分 2 将bkxy 代入曲线C 的方程 整理得0428 41 22 kxxk 5 分 因为直线 l与曲线 C 交于不同的两点 P 和 Q 所以 0 14 16 44 41 464 222222 bkbkbk 设 2211 yxQyxP 则 2 21 2 21 41 4 41 28 k xx k k xx 7 分 且 2 2121
14、 2 2121 bxxkbxxkbkxbkxyy 显然 曲线C 与 x 轴的负半轴交于点A 2 0 所以 2 2 2211 yxAQyxAP 由 0 2 2 0 2121 yyxxAQAP得 将 代入上式 整理得 051612 22 bkbk 10 分 所以 0 56 2 bkbk 即 5 6 2kbkb或经检验 都符合条件 当 b 2k 时 直线l的方程为 2kkxy 显然 此时直线l经过定点 2 0 点 即直线l经过点 A 与题意不符 当 kb 5 6 时 直线l的方程为 6 5 5 6 xkkkxy 显然 此时直线l经过定点 0 5 6 点 且不过点A 综上 k 与 b 的关系是 5 6
15、 kb 且直线l经过定点 0 5 6 点 13 分 23 北京市朝阳区2010 年 4 月高三年级第二学期统一考试理科 本小题满分13 分 已知中心在原点 焦点在x轴上的椭圆C 的离心率为 2 1 且经过点 2 3 1 过点 P 2 1 的直线l与椭圆 C 在第一象限相切于点M 1 求椭圆C 的方程 2 求直线l的方程以及点M 的坐标 3 是否存过点P 的直线 1 l与椭圆 C 相交于不同的两点A B 满足 2 PMPBPA 若存在 求出直线l1的方程 若不存在 请说明理由 解 设椭圆C 的方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由题意得 222 22 2 1 1 4 91 cb
16、a a c ba 解得3 4 22 ba 故椭圆C 的方程为1 34 22 yx 4 分 因为过点P 2 1 的直线 l 与椭圆在第一象限相切 所以l 的斜率存在 故可调 直线 l 的议程为 1 2 xky 由 1 2 1 34 22 xky yx 得081616 12 8 43 222 kkxkkxk 因为直线l与椭圆 相切 所以 0 81616 43 4 12 8 222 kkkkk 整理 得0 36 32k解得 2 1 k 所以直线 l 方程为 2 2 1 1 2 2 1 xxy 将 2 1 k代入 式 可以解得 M 点横坐标为1 故切点 M 坐标为 2 3 1 9 分 若存在直线l1满足条件 的方程为 1 2 1 xky 代入椭圆C 的方程得 081616 12 8 43 1 2 111 22 1 kkxkkxk 存在问题 因为直线 l1与椭圆 C 相交于不同的两点A B 设 A B 两点的坐标分别为 2211 yxyx 所以 0 36 32 81616 43 4 12 8 1 222 kkkkkk 所以 2 1 k 又 2 1 1 2 1 21 2 1 11 21 43 81
