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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试 全 国卷 数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 考试结束后 将本试卷降答题卡一同交回 满分150 分 考试用时 120分 钟 注意事项 1 答题前 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号答 题卡上填写清楚 并认真找准条形码上的准考证号 姓名 考 谁座位号填写 在规定的位置贴好条形码 2 每小题选出答案后 用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 答在试卷的答案无效 第 卷 选择题共 50 分 选择题 本大题共 10 小
2、题 每小题 5 分 共 50 分 在 每小题给出的四个选项中 参考公式 如果事件 A B互斥 那么球的表面积公式 P A B P A P B S 4 R 2 如果事件 A B相互独立 那么 P A B P A P B 一 选择题 A 1 4 B 1 5 C 2 4 D 2 5 解析 C 本题考查了集合的基本运算 属于基础知识 基本运算的考查 A 1 3 B 3 5 1 3 5 ABU 2 4 U CABU故选 C 2 不等式 3 2 x x 0 的解集为 A 23xx B 2x x C 23x xx或 D 3x x 解析 A 本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x 23x 故选 A 3 已
3、知 2 sin 3 则cos 2 x A 5 3 B 1 9 C 1 9 D 5 3 解析 B 本题考查了二倍角公式及诱导公式 SINA 2 3 21 cos 2 cos2 12sin 9 4 函数 y 1 ln x 1 x 1 的反函数是 A y 1x e 1 x 0 B y 1x e 1 x 0 C y 1x e 1 x R D y 1x e 1 x R 解析 D 本题考查了函数的反函数及指数对数的互化 函数 Y 1 LN X 1 X 1 11 ln 1 1 1 1 yx xyxeye 5 若变量 x y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z 2x y 的最大值为 A 1 B
4、2 C 3 D 4 解析 C 本题考查了线性规划的知识 作出可行域 作出目标函数线 可得直线与 yx 与 325xy 的交点为最优 解点 即为 1 1 当 1 1xy 时 max 3z 6 如果等差数列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 解析 C 本题考查了数列的基础知识 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaaL 7 若曲线 2 yxaxb在点 0 b处的切线方程是10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 解析 A 本题考查了导数的几何意思即求
5、曲线上一点处的切线方程 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线 10 xy 1b 8 已知三棱锥 SABC 中 底面 ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底 面 ABC SA 3 那么直线 AB 与平面 SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解析 D 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过 A作 AE垂直于 BC交 BC于 E 连结 SE 过 A作 AF垂直于 SE交 SE于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE AF 面 SBC ABF为直线
6、 AB与面 SBC 所成角 由正 三角形边长 3 3AE AS 3 SE 2 3 AF 3 2 3 sin 4 ABF 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封 放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18种 C 36种 D 54种 解析 B 本题考查了排列组合的知识 先从 3 个信封中选一个放1 2 有 3 种不同的选法 再从剩下的4 个数中选两个 放一个信封有 2 4 6C 余下放入最后一个信封 共有 2 4 318C 10 ABC中 点 D在边 AB上 CD平分 ACB 若CB uuu r a
7、 CA uu u r b a 1 b 2 则CD uuu r A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 解析 B 本题考查了平面向量的基础知识 A B C S E F CD 为 角 平 分 线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab uu u ruu u ruu u rrr 222 333 ADABab uuu ruuu rrr 2221 3333 CDCAADbabab uuu ruu u ru uu rrrrrr 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的距离相等的点 A
8、有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 解析 D 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆 柱面上 三个圆柱面有无数个交点 12 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C相交于 A B两点 若3AFFB uuu ruuu r 则 k A 1 B 2 C 3 D 2 解析 B 1122 A x yB xy 3AFFB u uu ruu u r 12 3yy 3 2 e 设 2 3at ct b t 222 440 xyt 直线
9、 AB方程为 3xsyt 代入消去 x 222 4 2 30systyt 2 121222 2 3 44 stt yyy y ss 2 2 2222 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 2 1 2 s 2k 13 已知 是第二象限的角 tan 1 2 则 cos 解析 2 5 5 本题考查了同角三角函数的基础知识 1 tan 2 2 5 cos 5 14 x 1 x 9 的展开式中 x 3 的系数是 解析 84 本题考查了二项展开式定理的基础知识 9 19 1 rrr r TC x x 923 3rr 3 9 84C 15 已知抛物线 C y 2 2px p 0 的准线 l 过 M
10、 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 A 与 C的一个交点为 B 若 则 p 解析 2 本题考查了抛物线的几何性质 设直线 AB 33yx 代入 2 2ypx 得 2 3 62 30 xp x 又 AMMB uu uu ruuu r 1 2 2 xp 解得 2 4120pP 解得 2 6pp 舍去 16 已知球 O的半径为 4 圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆 AB 为圆 M 与圆 N 的 公共弦 4AB 若3OMON 则两圆圆心的距离 MN 解析 3 本题考查球 直线与圆的基础知识 ON 3 球半径为 4 小圆 N的半径为 7 小圆 N 中弦长 AB 4 作 NE垂直于 AB NE 3
11、 同理可得 3ME 在直角三角形 ONE 中 NE 3 ON 3 6 EON 3 MON MN 3 三 解答题 本大题共6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 17 本小题满分 10分 ABCV中 D 为边 BC上的一点 33BD 5 sin 13 B 3 cos 5 ADC 求 AD 解析 本题考查了同角三角函数的关系 正弦定理与余弦定理的基础知识 由 ADC与B的差求出BAD 根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦 在 O M N E A B 三角形 ABD 中 由正弦定理可求得AD 18 本小题满分 12分 已知 n a是各项均为正数的等比数列 且 12 12
12、11 2 aa aa 345 345 111 64 aaa aaa 求 n a的通项公式 设 2 1 nn n ba a 求数列 n b的前n项和 n T 解析 本题考查了数列通项 前 n 项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出BN 的通项公式 由其通项公式化可知 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得 19 本小题满分 12分 如图 直三棱柱 ABC A 1B1C1 中 AC BC AA1 AB D为 BB1的中点 E为 AB1上 的一点 AE 3 EB 1 证明 DE为异
13、面直线 AB 1 与 CD的公垂线 设异面直线 AB 1与 CD的夹角为 45 求二面角 A1 AC1 B 1的大小 解析 本题考查了立体几何中直线与平面 平面与平面及异面直线所成角与二面 角的基础知识 1 要证明 DE为 AB1与 CD的公垂线 即证明DE与它们都垂直 由AE 3EB1 有 DE与 BA1平行 由 A1ABB1 为正方形 可证得 证明CD与 DE垂直 取 AB中点 F 连结 DF FC 证明 DE与平面 CFD垂直即可证明 DE与 CD垂直 2 由条件将异面直线AB1 CD所成角找出即为FDC 设出 AB连长 求出所有 能求出的边长 再作出二面角的平面角 根据所求的边长可通过
14、解三角形求得 20 本小题满分 12分 如图 由 M到 N的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T 2 T 3 T 4 电源能通过 T1 T2 T3的概率都是 P 电源能通过 T4的概率是 0 9 电源能否通过各元件相互独立 已知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为0 999 求 P 求电流能在M与 N之间通过的概率 解析 本题考查了概率中的互斥事件 对立事件及独立事件的概率 1 设出基本事件 将要求事件用基本事件的来表示 将T1 T2 T3至少有一个 能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P 2 将 MN 之间能通过电流用基本事件表示出来 由互斥事件与独立事件的概率求 得
15、21 本小题满分 12分 已知函数 f x x 3 3ax 2 3x 1 设 a 2 求 f x 的单调期间 设 f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a 的取值范围 解析 本题考查了导数在函数性质中的应用 主要考查了用导数研究函数的单调 区间 极值及函数与方程的知识 1 求出函数的导数 由导数大于0 可求得增区间 由导数小于0 可求得减区 间 2 求出函数的导数 fx 在 2 3 内有极值 即为 fx 在 2 3 内有一个 零点 即可根据 2 3 0ff 即可求出 A的取值范围 22 本小题满分 12分 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 相交于 B D两点 且 BD 的中点为 M 1 3 求 C的离心率 设 C的右顶点为 A 右焦点为 F DF BF 17 证明 过 A B D三 点的圆与 x 轴相切 解析 本题考查了圆锥曲线 直线与圆的知识 考查学生运用所学知识解决问题 的能力 1 由直线过点 1 3 及斜率可得直线方程 直线与双曲线交于BD两点的中点 为 1 3 可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A B 的关系式即求 得离心率 2 利用离心率将条件 FA FB 17 用含 A的代数式表示 即可求得A 则 A点 坐标可得 1 0 由于 A在 X轴上所以 只要证明2AM BD 即证得
