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1、绝密使用完毕前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理 北京卷 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试 结束后 将本试卷和答题卡 第 卷 选择题共 140 分 一 本大题共8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 集合 2 03 9 PxZxMxZ x 则 PMI A 1 2 B 0 1 2 C 1 2 3 D 0 1 2 3 2 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a
2、 a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视 图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何体的俯视图为 4 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A 82 89 A A B 82 89 A C C 82 87 A A D 82 87 A C 5 极坐标方程 p 1 p0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 6 a b 为非零向量 ab 是 函数 f x xa b g xb a 为一次函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D
3、 既不充分也不必要条件 表示的平面区域为D 若指数函数 y x a的图 7 设不等式组 像上 存在区域 D上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 8 如图 正方体 ABCD 1111 A B C D的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 A B上 动点 P Q分别在棱 AD CD上 若 EF 1 1 AE x DQ y D 大于零 则四面体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 第 II 卷 共 110分 二 填空题 本大题共6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 在复平面内 复数 2 1 i i 对应的点的
4、坐标为 10 在 ABC中 若b 1 c 3 2 3 C 则a 11 从某小学随机抽取100名同学 将他们的身高 单位 厘米 数据绘制成频率分布直方图 如图 由图中数据可知 a 若要 从身高在 120 130 130 140 140 150 三组内的学生中 用分层抽 样的方法选取 18 人参加一项活动 则从身高在 140 150 内的学生中选取的人数 应为 12 如图 Oe的弦 ED CB的延长线交于点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 13 已知双曲线 22 22 1 ab 的离心率为2 焦点与椭圆 22 1 259 的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线
5、方程为 14 如图放置的边长为1的 正方形 PABC 沿轴滚动 设顶点 P的轨迹方程 是 f 则函数 f的最小正周期为 f在其两个相邻 零点间的图象与轴所围区域的面积为 说明 正方形 PABC 沿轴滚动 包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动 沿轴 正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转 当顶点B落在轴上时 再以顶 点 B为中心顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形PABC 可以沿轴负方向滚动 三 解答题 本大题共6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明 过程 15 本小题共 13 分 已知函数 f 2 2cos 2sin4cos 求 3 f的值 求 f的最大值和最小值 16 本小
6、题共 14 分 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 求证 CF 平面 BDE 求二面角 A BE D的大小 17 本小题共 13 分 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取 得优秀成绩相互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 0 1 2 3 p 6 125 a d 24 125 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求 p q的值 求数学期望 E 18 本小题共
7、13 分 已知函数f x In 1 x x 2 2 x x k 0 当 k 2 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 求f x 的单调区间 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O对称 P 是动点 且直 线 AP与 BP的斜率之积等于 1 3 求动点 P的轨迹方程 设直线 AP和 BP分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点P 使得 PAB与 PMN 的面积相等 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 20 本小题共 13 分 已知集合 121 0 1 1 2 2 nn SXXx xxxinn 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A与 B的差为 1122 nn ABababab A与 B之间的距离为 11 1 i d A Bab 证明 nn A B CSABS有 且 d AC BCd A B 证明 n A B CSd A Bd A Cd B C三个数中至少有一 个是偶数 设 P n S P中有 m m 2 个元素 记 P中所有两元素间距离的平均值为 d P 证明 d P 2 1 mn m 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效
