《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第三章导数及其应用 3.2 第3课时》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第三章导数及其应用 3.2 第3课时（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3课时导数与函数的综合问题 3 2导数的应用 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一导数与不等式 多维探究 证明 命题点1证明不等式 典例已知函数f x 1 g x x lnx 1 证明 g x 1 当01时 g x 0 即g x 在 0 1 上为减函数 在 1 上为增函数 所以g x g 1 1 得证 证明 所以当02时 f x 0 即f x 在 0 2 上为减函数 在 2 上为增函数 又由 1 知x lnx 1 当且仅当x 1时取等号 且 等号不同时取得 命题点2不等式恒成立或有解问题 解答 解函数的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当x 0 1 时 f x
2、0 f x 单调递增 当x 1 时 f x 0 f x 单调递减 所以x 1为函数f x 的极大值点 且是唯一极值点 解答 所以h x h 1 1 所以g x 0 所以g x 为单调增函数 所以g x g 1 2 故k 2 即实数k的取值范围是 2 解答 由例 2 解题知 g x 为单调增函数 1 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数F x f x g x 利用F x 的单调性证明 2 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数 利用导数求出最值 得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪
3、训练已知函数f x ax lnx x 1 e 若f x 0恒成立 求实数a的取值范围 解答 解 f x 0 即ax lnx 0对x 1 e 恒成立 x 1 e g x 0 g x 在 1 e 上单调递减 证明 题型二利用导数研究函数的零点问题 师生共研 典例 2018届天星湖中学摸底 已知函数f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 当a 1时 求证 函数f x 在 0 上单调递增 证明f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 由于a 1 故当x 0 时 lna 0 ax 1 0 所以f x 0 故函数f x 在 0 上单调递增 2 若函数y f x t 1有三个零点
4、求t的值 解当a 0 a 1时 因为f 0 0 且f x 在R上单调递增 故f x 0有唯一解x 0 列表如下 又函数y f x t 1有三个零点 所以方程f x t 1有三个根 而t 1 t 1 所以t 1 f x min f 0 1 解得t 2 解答 利用导数研究方程的根 函数的零点 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而利用零点存在性定理判断函数的零点个数 跟踪训练 1 已知函数f x 的定义域为 1 4 部分对应值如下表 解析 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 当1 a 2时
5、函数y f x a的零点的个数为 答案 4 解析根据导函数图象知 2是函数的极小值点 函数y f x 的大致图象如图所示 由于f 0 f 3 2 1 a 2 所以y f x a的零点个数为4 2 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则实数a的取值范围是 解析 答案 2 解析当a 0时 f x 3x2 1有两个零点 不合题意 故a 0 f x 3ax2 6x 3x ax 2 若a 0 由三次函数图象知f x 有负数零点 不合题意 故a 0 又a 0 所以a 2 题型三利用导数研究生活中的优化问题 师生共研 典例 2015 江苏 某山区外围有两条相互垂直的
6、直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为l1 l2 山区边界曲线为C 计划修建的公路为l 如图所示 M N为C的两个端点 测得点M到l1 l2的距离分别为5千米和40千米 点N到l1 l2的距离分别为20千米和2 5千米 以l2 l1所在的直线 分别为x y轴 建立平面直角坐标系xOy 假设曲线C符合函数y 其中a b为常数 模型 1 求a b的值 解答 解由题意知 点M N的坐标分别为 5 40 20 2 5 2 设公路l与曲线C相切于P点 P的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式f t 并写出其定义域 解答 当t为何
7、值时 公路l的长度最短 求出最短长度 解答 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题 结合实际问题作答 解析 答案 解析令y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于当040时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 40 一审条件挖隐含 审题路线图 审题路线图 规范解答 审题路线图 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M 正确理解
8、 存在 的含义 g x1 g x2 max M 挖掘 g x1 g x2 max的隐含实质g x max g x min M 求得M的最大整数值 理解 任意 的含义 f x min g x max 求得g x max 1 分离参数aa x x2lnx恒成立 求h x x x2lnx的最大值a h x max h 1 1 a 1 规范解答解 1 存在x1 x2 0 2 使得g x1 g x2 M成立 等价于 g x1 g x2 max M 2分 g x max g 2 1 则满足条件的最大整数M 4 7分 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 所以当1 x 2时 h x 0 在区
9、间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 16分 课时作业 1 已知函数y x3 3x c的图象与x轴恰有两个公共点 则c 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 2或2 解析 y 3x2 3 当y 0时 x 1 则当x变化时 y y的变化情况如下表 因此 当函数图象与x轴恰有两个公共点时 必有c 2 0或c 2 0 c 2或c 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 定义在R上的函数f x 的导函数为f x f 0 0 若对任意
10、x R 都有f x f x 1 则使得f x ex 1成立的x的取值范围为 0 对任意x R 都有f x f x 1 函数g x 在R上单调递减 使得f x ex 1成立的x的取值范围为 0 解析 3 若不等式2xlnx x2 ax 3 0对x 0 恒成立 则实数a可取的值组成的集合是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 a a 4 解析由题意得 ax 2xlnx x2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 1 时 g x 0 g x 单调递增 当x 1 时 g x 0 g x 单调递减
11、 函数g x max g 1 4 所以a g x max 4 即 a a 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 将10 16的矩形的四个角各截去一个大小相同的小正方形 再将四边折起制成一个无盖的长方体盒子 则该盒子的最大体积是 144 解析设长方体的高为x 则体积V x 10 2x 16 2x 4 x3 13x2 40 x x 0 5 当x变化时 V V的变化情况如下表 所以当x 2时 V取极大值也是最大值 Vmax 144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 300 1 2 3
12、4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得 总成本函数为C x 20000 100 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令P x 0 得x 300 易知当x 300时 总利润P x 最大 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f x 在x 2处有最小值 且x 1 4 所以f 2 0 即b 8 所以c
13、5 经检验 b 8 c 5符合题意 所以f x 在 1 2 上单调递减 在 2 4 上单调递增 所以函数f x 在M上的最大值为5 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 e 1 解析由题意 知k 2x x2 0 即k x2 2x对任意x 0 2 恒成立 从而k 0 令f x 0 得x 1 当x 1 2 时 f x 0 函数f x 在 1 2 上单调递增 当x 0 1 时 f x 0 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以k f x min f 1 e 1 故实数k的取值范围为 0 e 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14、12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 直线x t分别与函数f x ex 1的图象及g x 2x 1的图象相交于点A和点B 则AB的最小值为 解析 4 2ln2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得 AB et 1 2t 1 et 2t 2 令h t et 2t 2 则h t et 2 所以h t 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以h t min h ln2 4 2ln2 0 即AB的最小值是4 2ln2 解析 答案 9 设函数f x 是定义在
15、0 上的可导函数 其导函数为f x 且有2f x xf x x2 则不等式 x 2014 2f x 2014 4f 2 0的解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2016 解析由2f x xf x x2 x0 即为F x 2014 F 2 0 即F x 2014 F 2 又因为F x 在 0 上是减函数 所以x 2014 2 所以x 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析易知函数f x 在 0 上有一个零
16、点 所以由题意得方程ax lnx 0在 0 上恰好有一解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 e 时 g x 单调递增 当x e 时 g x 单调递减 11 2017 全国 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解f x 的定义域为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 a 时 f x 0 所以f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 故x a是f x 在x 0 上的唯一极小值点也是最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解由 1 知当x 1 时 x 1 lnx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以m的最小值为3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 当x
