《高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.9 函数模型及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.9 函数模型及其应用（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 9函数模型及其应用 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 几类函数模型 知识梳理 2 三种函数模型的性质 递增 递增 y轴 x轴 1 解函数应用题的步骤 知识拓展 2 对勾 函数 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 某种商品进价为每件100元 按进价增加10 出售 后因库存积压降价 若按九折出售 则每件还能获利 2 函数y 2x的函数值比y x2的函数值大 3 不存在x0 使1 的增长速度会超过并远远大于y xa a 0 的增长速度 5 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0
2、b 1 增长速度越来越快的形象比喻 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编 1 2 4 5 6 答案 解析 3 2 P102例3 某工厂一年中各月份的收入 支出情况的统计图如图所示 则下列说法中错误的是A 收入最高值与收入最低值的比是3 1B 结余最高的月份是7月C 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D 前6个月的平均收入为40万元 解析由题图可知 收入最高值为90万元 收入最低值为30万元 其比是3 1 故A正确 由题图可知 7月份的结余最高 为80 20 60 万元 故B正确 由题图可知 1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 故C正确 1 2
3、 4 5 6 3 1 2 4 5 6 答案 解析 3 P104例5 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C x x2 2x 20 万元 一万件售价为20万元 为获取更大利润 该企业一个月应生产该商品数量为 万件 解析利润L x 20 x C x x 18 2 142 当x 18时 L x 有最大值 3 18 4 P107A组T4 用长度为24的材料围一矩形场地 中间加两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 解析设隔墙的长度为x 0 x 6 解析 1 2 4 5 6 3 答案 3 当x 3时 y最大 题组三易错自纠5 某市生产总值连续两年持
4、续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 解析设年平均增长率为x 则 1 x 2 1 p 1 q 解析 1 2 4 5 6 答案 3 6 已知某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第2年有100只 到第8年它们发展到 只 解析 1 2 4 5 6 200 答案 解析由题意知100 alog3 2 1 a 100 y 100log3 x 1 当x 8时 y 100log39 200 3 题型分类深度剖析 1 高为H 满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示 其底部破了一个小洞 满缸水从洞中流出 若鱼缸水深为h时水的体积
5、为v 则函数v f h 的大致图象是 题型一用函数图象刻画变化过程 自主演练 答案 解析 解析v f h 是增函数 且曲线的斜率应该是先变大后变小 故选B 2 物价上涨是当前的主要话题 特别是菜价 我国某部门为尽快实现稳定菜价 提出四种绿色运输方案 据预测 这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0 各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示 在这四种方案中 运输效率 单位时间的运输量 逐步提高的是 解析 解析由运输效率 单位时间的运输量 逐步提高得 曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大 故函数的图象应一直是下凸的 故选B 答案 3 汽车的 燃油效率 是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程
6、 下图描述了甲 乙 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 下列叙述中正确的是A 消耗1升汽油 乙车最多可行驶5千米B 以相同速度行驶相同路程 三辆车中 甲车消耗汽油量最多C 甲车以80千米 小时的速度行驶1小时 消耗10升汽油D 某城市机动车最高限速80千米 小时 相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 解析 答案 解析根据图象所给数据 逐个验证选项 根据图象知消耗1升汽油 乙车最多行驶里程大于5千米 故选项A错 以相同速度行驶时 甲车燃油效率最高 因此以相同速度行驶相同路程时 甲车消耗汽油最少 故选项B错 甲车以80千米 小时的速度行驶时燃油效率为10千米 升 行驶1小时 里程为80千米 消
7、耗8升汽油 故选项C错 最高限速80千米 小时 丙车的燃油效率比乙车高 因此相同条件下 在该市用丙车比用乙车更省油 故选项D对 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1 构建函数模型法 当根据题意易构建函数模型时 先建立函数模型 再结合模型选图象 2 验证法 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点 结合图象的变化趋势 验证是否吻合 从中排除不符合实际的情况 选择出符合实际情况的答案 典例 1 2017 石家庄质检 加工爆米花时 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为 可食用率 在特定条件下 可食用率p与加工时间t 单位 分钟 满足函数关系p at2 bt c a b c是常数 如图记
8、录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据 可以得到最佳加工时间为 分钟 解析 答案 题型二已知函数模型的实际问题 师生共研 3 75 解析根据图表 把 t p 的三组数据 3 0 7 4 0 8 5 0 5 分别代入函数关系式 2 2017 湖南醴陵期中 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品 若该商品零售价定为p元 销售量为Q件 则销售量Q 单位 件 与零售价p 单位 元 有如下关系 Q 8300 170p p2 则最大毛利润为 毛利润 销售收入 进货支出 A 30元B 60元C 28000元D 23000元 解析 答案 解析设毛利润为L p 元 则由题意知L p pQ 20Q
9、 Q p 20 8300 170p p2 p 20 p3 150p2 11700p 166000 所以L p 3p2 300p 11700 令L p 0 解得p 30或p 130 舍去 当p 0 30 时 L p 0 当p 30 时 L p 0 故L p 在p 30时取得极大值 即最大值 且最大值为L 30 23000 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 1 认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数 2 根据已知利用待定系数法 确定模型中的待定系数 3 利用该模型求解实际问题 跟踪训练 1 拟定甲 乙两地通话m分钟的电话费 单位 元 由f m 1 06 0 5 m 1 给出 其中m 0 m 是
10、不超过m的最大整数 如 3 3 3 7 3 3 1 3 则甲 乙两地通话6 5分钟的电话费为 元 解析 m 6 5 m 6 则f 6 5 1 06 0 5 6 1 4 24 4 24 解析 答案 2 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元 并且每生产一单位产品 成本增加10万元 又知总收入K是单位产品数Q的函数 K Q 40Q Q2 则总利润L Q 的最大值是 万元 2500 解析 答案 则当Q 300时 L Q 的最大值为2500万元 命题点1构造一次函数 二次函数模型典例 1 某航空公司规定 乘飞机所携带行李的质量x kg 与其运费y 元 之间的关系由如图所示的一次函数图象确定 那么乘客
11、可免费携带行李的质量最大为 kg 解析 题型三构建函数模型的实际问题 多维探究 答案 19 解析由图象可求得一次函数的解析式为y 30 x 570 令30 x 570 0 解得x 19 解析 2 将进货单价为80元的商品按90元一个出售时 能卖出400个 已知这种商品每涨价1元 其销售量就要减少20个 为了赚得最大利润 每个售价应定为 元 解析 答案 95 解析设每个售价定为x元 则利润y x 80 400 x 90 20 20 x 95 2 225 当x 95时 y最大 命题点2构造指数函数 对数函数模型 典例一片森林原来面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积
12、的一半时 所用时间是10年 为保护生态环境 森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 求每年砍伐面积的百分比 解答 解设每年降低的百分比为x 0 x 1 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 解答 故到今年为止 该森林已砍伐了5年 本例的条件不变 试计算 今后最多还能砍伐多少年 解设从今年开始 以后砍了n年 解答 故今后最多还能砍伐15年 命题点3构造y x a 0 型函数 典例 1 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运 据市场分析 每辆客车营运的总利润y 万元 与营运年数x的关系如图所示 抛物线的一段 则为使其营运年平均利润最大 每辆客车营运年数为 解析 答
13、案 5 解析根据图象求得y x 6 2 11 要使平均利润最大 客车营运年数为5 2 2017 南昌模拟 某地区要建造一条防洪堤 其横断面为等腰梯形 腰与底边夹角为60 如图 考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素 设计其横断面要求面积为9平方米 且高度不低于米 记防洪堤横断面的腰长为x米 外周长 梯形的上底线段BC与两腰长的和 为y米 要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省 即横断面的外周长最小 则防洪堤的腰长x 解析 答案 命题点4构造分段函数模型 典例 2017 山西孝义模考 某景区提供自行车出租 该景区有50辆自行车供游客租赁使用 管理这些自行车的费用是每日115元 根据经验 若每辆自行车的
14、日租金不超过6元 则自行车可以全部租出 若超出6元 则每超过1元 租不出的自行车就增加3辆 为了便于结算 每辆自行车的日租金x 元 只取整数 并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用 用y 元 表示出租自行车的日净收入 即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分 1 求函数y f x 的解析式 解答 解当x 6时 y 50 x 115 令50 x 115 0 解得x 2 3 x为整数 3 x 6 x Z 当x 6时 y 50 3 x 6 x 115 3x2 68x 115 令 3x2 68x 115 0 有3x2 68x 115 0 结合x为整数得6 x 20 x Z 2
15、试问当每辆自行车的日租金为多少元时 才能使一日的净收入最多 解对于y 50 x 115 3 x 6 x Z 显然当x 6时 ymax 185 解答 当x 11时 ymax 270 270 185 当每辆自行车的日租金定为11元时 才能使一日的净收入最多 构建数学模型解决实际问题 要正确理解题意 分清条件和结论 理顺数量关系 将文字语言转化成数学语言 建立适当的函数模型 求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 跟踪训练 1 某化工厂生产一种溶液 按市场要求杂质含量不超过0 1 若初时含杂质2 每过滤一次可使杂质含量减少 至少应过滤 次才能达到市场要求 已知lg2 0 3010 lg3 0 477
16、1 解析 解析设至少过滤n次才能达到市场要求 8 答案 所以n 7 39 所以n 8 2 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店 经过预算 该门面需要装修费为20000元 每天需要房租 水电等费用100元 受经营信誉度 销售季节等因素的影响 专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R x 则总利润最大时 该门面经营的天数是 解析 答案 300 所以当x 300时 ymax 25000 当x 400时 y 60000 100 x 20000 综上 当门面经营的天数为300时 总利润最大为25000元 典例 12分 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元 每生产1万部还需另投入16万美元 设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完 每万部的销售收入为R x 万美元 且R x 1 写出年利润W 万美元 关于年产量x 万部 的函数解析式 2 当年产量为多少万部时 公司在该款手机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润 函数应用问题 答题模板 思维点拨根据题意 要利用分段函数求最大利润 列出解析式后 比较二次函数和 对勾 函数的最值的结论 规范解答 答题模板 思维点拨 解 1
