《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考一轮复习备考资料之数学江苏专版课件：第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 2函数的单调性与最值 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 下降的 上升的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间D上是或 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间D 2 函数的最值 f x M f x0 M f x M f x0 M 知识拓展 3 在区间D上 两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 4 函数f g x 的单调性与函数y f u 和u g
2、x 的单调性的关系是 同增异减 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若定义在R上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在R上为增函数 2 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 3 函数y 的单调递减区间是 0 0 4 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点取到 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 P40练习T1 函数f x x2 2x的单调递增区间是 答案 1 或 1 1 2 3 4 5 6 7 3 P40练习T5 函数y 在 2 3 上的最大值是 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 4 P40练习T3 若函数
3、f x x2 2mx 1在 2 上是增函数 则实数m的取值范围是 答案 2 解析由题意知 2 m m 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 题组三易错自纠5 函数y 的单调递减区间为 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 解析 答案 6 若函数f x 2x a 的单调增区间是 3 则a的值为 6 1 2 3 4 5 6 7 7 函数f x 的最大值为 解析当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 题型分类深度剖析
4、 命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例 1 2017 全国 改编 函数f x ln x2 2x 8 的单调递增区间是 题型一确定函数的单调性 区间 多维探究 答案 4 解析 解析由x2 2x 8 0 得x 4或x 2 设t x2 2x 8 则y lnt为增函数 要求函数f x 的单调递增区间 即求函数t x2 2x 8的单调递增区间 函数t x2 2x 8的单调递增区间为 4 函数f x 的单调递增区间为 4 2 函数y x2 2 x 3的单调递减区间是 答案 1 0 1 解析由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数
5、的图象如图所示 解析 由图象可知 函数y x2 2 x 3的单调递减区间是 1 0 1 命题点2解析式含参数的函数的单调性 解答 典例判断并证明函数f x ax2 其中1 a 3 在 1 2 上的单调性 证明 设1 x1 x2 2 由1 x1 x2 2 得x2 x1 0 2 x1 x2 4 又因为1 a 3 所以2 a x1 x2 12 从而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故当a 1 3 时 f x 在 1 2 上单调递增 如何用导数法求解本例 解答 因为1 x 2 所以1 x3 8 又1 a 3 所以2ax3 1 0 所以f x 0 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证
6、明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图象法 图象不连续的单调区间不能用 连接 跟踪训练 1 函数y 的单调递增区间为 解析 答案 2 函数f x x 2 x的单调递减区间是 解析 答案 1 2 当x 2时 2 是函数f x 的单调递增区间 当x 2时 1 是函数f x 的单调递增区间 1 2 是函数f x 的单调递减区间 解析 答案 题型二函数的最值 自主演练 解析由于y 在R上单调递减 y log2 x 2 在 1 1 上单调递增 所以f x 在 1 1 上单调递减 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 3 2 已知函数f x 则f
7、 x 的最小值是 解析当x 1时 f x min 0 解析 答案 解析 答案 2 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数
8、再用相应的方法求最值 命题点1比较大小典例已知函数f x 的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 连接 题型三函数单调性的应用 多维探究 解析 答案 b a c 命题点2解函数不等式典例f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2时 x的取值范围是 解析 答案 8 9 解析2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的单调增函数 命题点3求参数范围典例 1 函数y 在 1 上单调递增 则a的取值范围是 解析
9、答案 a的取值范围是a 3 3 2 已知f x 是 上的减函数 则a的取值范围是 解析 答案 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 比较函数值的大小 应将自变量转化到同一个单调区间内 然后利用函数的单调性解决 2 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时 往往是利用函数的单调性将 f 符号脱掉 使其转化为具体的不等式求解 此时应特别注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 视参数为已知数 依据函数的图象或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较求参数 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外
10、还要注意衔接点的取值 跟踪训练 1 已知函数f x x 2x a a 0 在区间 2 4 上单调递减 则实数a的值是 解析 答案 8 2 定义在R上的奇函数y f x 在 0 上单调递增 且 0 则不等式f 0的解集为 解析 答案 f x 在 0 上也单调递增 课时作业 1 2017 江苏前黄高级中学月考 函数f x 的单调递增区间是 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
11、 15 16 0 1 解析 所以0 y 1 故函数的值域为 0 1 4 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则实数a的取值范围是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 解析要使y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则a 0且a 1 0 即a 1 解析 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 f x 在R上是奇函数 又f x 在R上是增函数 且log25 log24 1 log24 2 20 8 f log25 f log24 1 f 20 8 a b c c
12、b a 6 设f x 若f 0 是f x 的最小值 则a的取值范围为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 2 解析 当x 0时 f x x a 2 f 0 是f x 的最小值 a 0 当x 0时 f x x a 2 a 当且仅当x 1时取 要满足f 0 是f x 的最小值 需2 a f 0 a2 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 a的取值范围是0 a 2 3 解析设t x2 2x 3 由t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图象的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上
13、单调递减 在 3 上单调递增 所以函数f x 的单调递增区间为 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 0 1 函数g x 的图象如图所示 其单调递减区间为 0 1 9 设函数f x 若函数y f x 在区间 a a 1 上单调递增 则实数a的取值范围是 解析作函数f x 的图象如图所示 由图象可知f x 在 a a 1 上单调递增 需满足a 4或a 1 2 即a 1或a 4 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
14、 15 16 1 4 10 已知函数f x 若f x 在 0 上单调递增 则实数a的取值范围为 解析由题意 得12 a 2 0 则a 2 又y ax a x 1 是增函数 故a 1 所以a的取值范围为1 a 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 11 已知f x x a 1 若a 2 试证f x 在 2 上单调递增 证明设x1 x2 2 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在
15、2 上单调递增 2 若a 0且f x 在 1 上单调递减 求a的取值范围 解设1 x1 x2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a 0 x2 x1 0 所以要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 所以a 1 综上所述 0 a 1 12 函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 0 a2 2a 2 1
16、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 2 a2 10a 18 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知函数f x x2 2ax a在区间 1 上有最小值 则函数g x 在区间 1 上一定是 函数 填 增 减 增 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析二次函数y1 x2 4x 3的对称轴是x 2 该函数在 0 上单调递减 x2 4x 3 3 同样可知函数y2 x2 2x 3在 0 上单调递减 x2 2x 3f 2a x 得到x a 2a x 即2x a 2x a在 a a 1 上恒成立 2 a 1 a a 2 实数a的取值范围是 2 15 函数f x 的定义域为D 若对于任意x1 x2 D 当x1 x2时 都有f x1 f x2
