《高中数学（人教A版）必修一配套课件：3.1.1方程的根与函数的零点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教A版）必修一配套课件：3.1.1方程的根与函数的零点（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章函数的应用3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 主题1函数的零点1 观察下列一元二次方程与对应的二次函数 1 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 2 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 3 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 结合下面的表格 完成填空 1 0 3 0 1 0 无 1 3 1 无 2 结合问题1 你认为方程f x 0的根与对应函数y f x 的图象有什么关系 提示 方程f x 0的根与函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标相等 结论 1 函数零点的定义对于函数y f x 使f x 0的 x叫做函数y f x 的零点 实数 2
2、函数零点的意义方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 x轴 零点 微思考 函数的零点是一个点 还是一个实数 是不是所有的函数都有零点 提示 函数的零点是实数而不是点 例如 函数f x x 1的零点是 1 而不是 1 0 并不是所有的函数都有零点 例如函数f x y x2 1均没有零点 主题2函数零点的判断1 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 发现这个二次函数在区间 2 1 内有零点 计算f 2 与f 1 的乘积 你能发现这个乘积有什么特点 提示 f 2 f 1 2 2 2 2 3 12 2 1 3 5 4 20 0 即当f 2 f 1 0时 函数f
3、 x x2 2x 3在区间 2 1 内有零点x 1 它是方程x2 2x 3 0的一个根 2 同样 函数f x x2 2x 3在区间 2 4 内有零点 是否也有f 2 f 4 0呢 提示 经计算f 2 f 4 0 即当f 2 f 4 0时 函数f x x2 2x 3在 2 4 内有零点x 3 它是方程x2 2x 3 0的一个根 结论 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 的一条曲线 并且 那么函数y f x 在区间 a b 内有 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的 连续不断 f a f b 0 零点 f c 0 根 微思考 1 零点的存在性定理中 两个条件 函数f x
4、 在区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 f a f b 0 是不是缺一不可 提示 是的 两个条件缺一不可 例如f x f 1 f 1 0 但显然f x 在 1 1 内没有零点 2 对于在区间 a b 上图象连续不断的函数f x 满足f a f b 0时 函数y f x 在 a b 上没有零点 对吗 提示 不对 例如 f x x 2 2满足f 1 f 3 0 但在区间 1 3 上有零点2 存在性定理只是给出了零点存在的两个条件 但非唯一的存在条件 同时存在性定理没有否认满足这两个条件时函数零点存在的可能性 3 函数y f x 在区间 a b 内存在零点 一定有f a f b 0 预习自测
5、 1 函数f x x 1的零点是 A 1B 2C 3D 0 解析 选A 令f x 0得x 1 0 即x 1 故f x 的零点是1 2 函数f x 3x x2的零点所在区间是 A 1 2 B 2 1 C 0 1 D 1 0 解析 选D 因为f 1 3 1 10 所以f 1 f 0 0 故选D 3 若函数y f x 的零点为1 则函数y f x 1 的零点为 解析 因为函数y f x 的零点为1 则f 1 0 令x 1 1得x 0 所以函数y f x 1 的零点为0 答案 0 4 函数f x x2 零点的个数为 仿照教材P88例1的解析过程 解析 方法一 令x2 0 得x2 即x3 1 解得x 1
6、 故函数f x x2 只有一个零点 方法二 由x2 0 得x2 令h x x2 x 0 g x 在同一坐标系中画出h x 和g x 的图象 由图可知两函数图象只有一个交点 故函数f x x2 只有一个零点 答案 1 类型一求函数的零点或判断零点的个数 典例1 1 2017 六安高一检测 函数f x x2 bx 1有一个零点 则b的值为 A 2B 2C 2D 3 2 求下列函数的零点 f x x3 8 f x f x 解题指南 1 将函数f x x2 bx 1的零点问题转化为方程根的问题 利用二次函数判别式求出参数范围 2 将求y f x 的零点问题转化为方程f x 0的根的问题 进而求出函数的
7、零点 解析 1 选C 因为函数f x x2 bx 1有一个零点 所以方程x2 bx 1 0有一个根 所以b2 4 0 所以b 2 2 令x3 8 0 得x 2 所以函数f x x3 8的零点为 2 函数f x 的定义域为 0 3 3 令 0 得x 2 0或lnx 0 所以x 2 舍去 或x 1 所以函数f x 的零点为1 当x 2或x 1时 令x2 x 2 0 得x 2或 1 当 1 x 2时 令2x 1 0 得2x 1 所以x 0 所以函数的零点为2 1 0 方法总结 判断函数存在零点的三种方法 1 方程法 若方程f x 0的解可求或能判断解的个数 可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断
8、零点的个数 2 图象法 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系内作出y1 g x 和y2 h x 的图象 根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数 3 定理法 函数y f x 的图象在区间 a b 上是一条连续不断的曲线 由f a f b 0即可判断函数y f x 在区间 a b 内至少有一个零点 若函数y f x 在区间 a b 上是单调函数 则函数f x 在区间 a b 内只有一个零点 巩固训练 1 2016 杭州高一检测 函数f x log2x x 2的零点个数为 A 0B 1C 2D 3 2 讨论函数f x ax 1 x 2 a 0 的零点 解析 1 选C 令y
9、1 log2x y2 x 2 在同一坐标下作出y1与y2的图象 由图象可知y1与y2有两个交点 故f x 有两个零点 2 令 ax 1 x 2 0得x1 x2 2 a 0 当a 时 x1 x2 即函数f x 的零点为2 当a 时 x1 x2 即函数f x 的零点为和2 类型二函数零点的判断 典例2 1 2017 德州高一检测 已知函数f x 1 log2x 若x0是方程f x 0的根 则x0 2 2017 正定高一检测 函数f x 2x 试确定f x 的零点的大致区间 解题指南 1 方程f x 0的根 即为函数f x 1 log2x的零点 结合各选项 分别计算函数取不同值的符号 根据零点的存在
10、性定理判断即可 2 先判断f x 连续 判断f x 有一个零点 再初步判断常见的函数值 如f 1 f 2 等 估计出大致区间 根据零点的判断方法 只需计算所给区间的端点函数值 函数值异号对应的区间即为所求 解析 1 选B 因为所以x0 2 因为函数y 2x的图象与y 的图象只有一个交点 且容易计算f 1 2 3 10 所以f 1 f 2 0 由函数零点存在性定理知 函数f x 2x 的零点的大致区间为 1 2 延伸探究 1 本例 2 中的函数改为f x 2 x 其他条件不变 结果如何 解析 易判断函数f x 2 x 为偶函数 因为y 2x 的零点区间为 1 2 所以函数f x 2 x 的零点区
11、间为 2 1 1 2 2 把本例 2 的条件改为函数f x 2x a在 1 2 上有零点 试确定a的取值范围 解析 易判断函数f x 2x a在 1 2 上为增函数 又函数f x 2x a的一个零点在区间 1 2 内 所以f 1 0 解得 1 a 方法总结 判断函数零点所在区间的三个步骤 1 代 将区间端点代入函数求出函数的值 2 判 把所得函数值相乘 并进行符号判断 3 结 若符号为正且函数在该区间内是单调函数 则在该区间内无零点 若符号为负且函数连续 则在该区间内至少有一个零点 补偿训练 1 2017 长沙高一检测 根据表中的数据 可以判定函数f x ex x 2的一个零点所在的区间为 A
12、 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 3 2 确定函数f x lgx 的零点所在的大致区间 解题指南 1 利用表中的数据分别计算f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 找出函数值异号的两点对应的区间即为所求 2 根据函数零点存在的判断方法求解 解析 1 选C 因为f x ex x 2 由题设知f 1 0 280 故函数f x ex x 2的一个零点所在区间为 1 2 2 因在第一象限内y lgx的图象与y 的图象只有一个交点 且容易计算 f 1 10 所以f 1 f 10 0 由函数零点存在性定理知 函数f x lgx 的零点所在的大致区间是 1 10 拓展类型 一元二次方程根的分布
13、问题 典例 已知关于x的一元二次方程x2 2mx 2m 1 0有两个不相等的实数根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的取值范围 解题指南 借助二次函数的图象 讨论区间端点的函数值的符号 列出不等式组 即可解得实数m的取值范围 解析 由题意知 抛物线f x x2 2mx 2m 1与x轴的交点分别在区间 1 0 和 1 2 内 如图 观察图象可得 解得所以m的取值范围为 方法总结 二次方程根的分布问题的求解策略设x1 x2是实系数方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 则x1 x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系有下表 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 转化法 函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点 2 数形结合思想 借助图象交点确定零点及方程根的问题
