《高中数学苏教版必修一课件：第三章 3.4.1 第1课时 函数的零点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版必修一课件：第三章 3.4.1 第1课时 函数的零点（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 4函数的应用3 4 1函数与方程第1课时函数的零点 学习目标1 理解函数零点的定义 会求函数的零点 重点 2 掌握函数零点的判定方法 难点 3 了解函数的零点与方程的根的联系 重点 知识点一函数的零点函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的 实数根 横坐标 预习评价 思考函数的零点是点吗 提示函数y f x 的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 因此函数的零点不是点 是方程f x 0的解 即函数的零点是一个实数 知识点二函数的零点 方程的根 函数图象之间的关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 知识点
2、三函数零点的判定定理若函数y f x 在区间 a b 上的图象是一条的曲线 且 则函数y f x 在区间 a b 上有零点 x轴 有零点 不间断 f a f b 0 预习评价 若函数y f x 在区间 a b 上的图象为一条连续不断的曲线 判断下列说法是否正确 若f a f b 0 不存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 存在且只存在一个实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 有可能存在实数c a b 使得f c 0 若f a f b 0 有可能不存在实数c a b 使得f c 0 提示 可通过反例 f x x 1 x 1 在区间 2 2 上满足f 2 f 2
3、 0 但其存在两个解 1 1 故 不正确 对于 可通过反例 f x x x 1 x 1 在区间 2 2 上满足f 2 f 2 0 但其存在三个解 1 0 1 故 不正确 由零点存在性定理可知 不正确 题型一求函数的零点 例1 求下列函数的零点 1 f x x2 x 6 2 f x x3 x 3 f x ax 1 x 2 a R 解 1 方法一令f x 0 即x2 x 6 0 1 2 4 1 6 25 0 方程x2 x 6 0有两个不相等的实数根x1 2 x2 3 函数f x x2 x 6的零点是x1 2 x2 3 规律方法根据函数零点的定义 求函数f x 的零点就是求使f x 0的x的值 即方
4、程f x 0的根 一般求法是 代数法 解方程的思想 如求一元二次方程f x 0的实数根常用求根公式 分解因式等方法 几何法 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点 训练1 函数y x 1的零点是 解析令y x 1 0 得x 1 故函数y x 1的零点为1 答案1 题型二函数零点存在性定理及应用 例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 解 1 f 1 20 0 f 8 22 0 f 1 f 8 0 故f x x2 3x 18在 1 8 上存在零点 2
5、f 1 1 0 f 2 5 0 f 1 f 2 0 f x x3 x 1在 1 2 上存在零点 3 f 1 log2 1 2 1 log22 1 0 f 3 log2 3 2 3 log28 3 0 f 1 f 3 0 故f x log2 x 2 x在 1 3 上存在零点 规律方法由函数给定的区间 a b 分别求出f a 和f b 判断f a f b 0是否成立 这是判断函数有无零点的基本方法 同时要注意如果f a f b 0 并不说明函数在 a b 上没有零点 训练2 已知函数f x 的图象是连续不断的 有如下x f x 的对应值表 则函数f x 在区间 1 6 上的零点至少有 个 解析根据
6、函数零点存在性定理可判断至少有3个零点 答案3 题型三判断函数零点的个数 例3 判断函数f x lnx x2 3的零点的个数 解函数对应的方程为lnx x2 3 0 所以原函数零点的个数即为函数y lnx与y 3 x2的图象交点个数 在同一坐标系下 作出两函数的图象 如图 由图象知 函数y 3 x2与y lnx的图象只有一个交点 从而lnx x2 3 0有一个根 即函数y lnx x2 3有一个零点 规律方法判断函数零点个数的方法 1 对于一般函数的零点个数的判断问题 可以先确定零点存在 然后借助于函数的单调性判断零点的个数 2 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作
7、出y1 g x 和y2 h x 的图象 利用图象判定方程根的个数 3 解方程 解得方程根的个数即为函数零点的个数 训练3 函数f x lnx x 2的零点个数为 解析如图所示 分别作出y lnx y x 2的图象 可知两函数的图象有两个交点 即f x 有两个零点 答案2 探究1 已知二次函数f x 7x2 k 13 x k 2的两个零点分别在区间 0 1 与 1 2 内 试求k的取值范围 解由题意可知 方程7x2 k 13 x k 2 0的两根分别在区间 0 1 与 1 2 内 也就是说函数y 7x2 k 13 x k 2的图象与x轴的交点横坐标分别在0与1 1与2之间 作出草图 探究2 已知
8、关于x的方程 x2 4x 3 a 0有三个不相等的实数根 则实数a的值是 解析如图所示 由图象知直线y 1与y x2 4x 3 的图象有三个交点 则方程 x2 4x 3 1有三个不相等的实数根 因此a 1 答案1 答案 0 规律方法 1 在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑四个方面 与0的关系 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 2 求解探究2这类问题可先将原式变形为f x g x 则方程f x g x 的不同解的个数等于函数f x 与g x 图象交点的个数 分别画出两个函数的图象 利用数形结合的思想使问题得解 3 已知函数f x x a x b 2 a b 并
9、且 是函数y f x 的两个零点 则实数a b 的大小关系是 解析函数g x x a x b 的两个零点是a b 由于y f x 的图象可看作是由y g x 的图象向上平移2个单位而得到的 所以a b 答案a b f m 0 由图象知f m 1 0 f m f m 1 0 f x 在 m m 1 上有1个零点 答案1 课堂小结1 在函数零点存在定理中 要注意三点 1 函数是连续的 2 定理不可逆 3 至少存在一个零点 2 方程f x g x 的根是函数f x 与g x 的图象交点的横坐标 也是函数y f x g x 的图象与x轴交点的横坐标 3 函数与方程有着密切的联系 有些方程问题可以转化为函数问题求解 同样 函数问题有时化为方程问题 这正是函数与方程思想的基础
