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1、第 1 页 共 17 页 绝密 启用前 吉林省 2019 年高考数学理科试卷 本试卷共23 题 共 150 分 共 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生先将自己的姓名 准考证号码填写清楚 将条形码准确粘贴在 条形码区域内 2 选择题必须使用2B 铅笔填涂 非选择题必须使用0 5 毫米黑色字迹的签字 笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答 超出答题区域书写的答案无效 在草稿纸 试题卷上答题无效 4 作图可先使用铅笔画出 确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 5 保持卡面清洁 不要折叠 不要弄破 弄皱 不准使用涂改液 修正带 刮 纸刀
2、 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 5 分 设集合A x x 2 5x 6 0 B x x 1 0 则 A B A 1 B 2 1 C 3 1 D 3 2 5 分 设 z 3 2i 则在复平面内对应的点位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3 5 分 已知 2 3 3 t 1 则 A 3B 2C 2D 3 4 5 分 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆 我国 航天事业取得又一重大成就 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面 与探测器的通讯联
3、系 为解决这个问题 发射了嫦娥四号中继星 鹊桥 鹊桥沿着围绕 地月拉格朗日L2点的轨道运行 L2点是平衡点 位于地月连线的延长线上 设地球质量 为 M1 月球质量为M2 地月距离为R L2点到月球的距离为r 根据牛顿运动定律和万 有引力定律 r 满足方程 R r 设 由于 的值很小 因此在近似计算中 3 3 则 r 的近似值 为 A RB RC RD R 5 5 分 演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从9 第 2 页 共 17 页 个原始评分中去掉1 个最高分 1 个最低分 得到 7 个有效评分 7 个有效评分与9 个原始 评分相比 不变的数字特征是 A 中位
4、数B 平均数C 方差D 极差 6 5 分 若 a b 则 A ln a b 0B 3 a 3b C a 3 b3 0 D a b 7 5 分 设 为两个平面 则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C 平行于同一条直线 D 垂直于同一平面 8 5 分 若抛物线y 2 2px p 0 的焦点是椭圆 1 的一个焦点 则p A 2B 3C 4D 8 9 5 分 下列函数中 以为周期且在区间 单调递增的是 A f x cos2x B f x sin2x C f x cos x D f x sin x 10 5 分 已知 0 2sin2 cos2 1 则 sin A
5、B C D 11 5 分 设F 为双曲线C 1 a 0 b 0 的右焦点 O 为坐标原点 以 OF 为直径的圆与圆x 2 y2 a2 交于 P Q 两点 若 PQ OF 则 C 的离心率为 A B C 2D 12 5 分 设函数f x 的定义域为R 满足 f x 1 2f x 且当 x 0 1 时 f x x x 1 若对任意x m 都有 f x 则 m 的取值范围是 A B C D 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 5 分 我国高铁发展迅速 技术先进 经统计 在经停某站的高铁列车中 有10 个车 次的正点率为0 97 有 20 个车次的正点率为0 98 有 10
6、个车次的正点率为0 99 则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14 5 分 已知 f x 是奇函数 且当 x 0 时 f x e ax 若 f ln2 8 则 a 第 3 页 共 17 页 15 5 分 ABC 的内角 A B C 的对边分别为a b c 若 b 6 a 2c B 则 ABC 的面积为 16 5 分 中国有悠久的金石文化 印信是金石文化的代表之一 印信的形状多为长方体 正方体或圆柱体 但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是 半正多面体 图 1 半正 多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 半正多面体体现了数学的对称 美 图 2 是一个棱数为48 的半正多面
7、体 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上 且 此正方体的棱长为1 则该半正多面体共有个面 其棱长为 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 如图 长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 点 E 在棱 AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C1 2 若 AE A1E 求二面角 B EC C1的正弦值 18 12 分 11 分制乒乓球比赛 每赢一球得1 分 当某局打成10 10 平后 每球交换发 第 4
8、页 共 17 页 球权 先多得2 分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲 发球时甲得分的概率为0 5 乙发球时甲得分的概率为0 4 各球的结果相互独立 在某 局双方 10 10 平后 甲先发球 两人又打了X 个球该局比赛结束 1 求 P X 2 2 求事件 X 4 且甲获胜 的概率 19 12 分 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1 b1 0 4an 1 3an bn 4 4bn 1 3bn an 4 1 证明 an bn 是等比数列 an bn 是等差数列 2 求 an 和 bn 的通项公式 20 12 分 已知函数f x lnx 1 讨论 f x 的单调性 并
9、证明f x 有且仅有两个零点 2 设 x0是 f x 的一个零点 证明曲线y lnx 在点 A x0 lnx0 处的切线也是曲线 y e x 的切线 21 12 分 已知点A 2 0 B 2 0 动点 M x y 满足直线AM 与 BM 的斜率 之积为 记 M 的轨迹为曲线C 1 求 C 的方程 并说明C 是什么曲线 2 过坐标原点的直线交C 于 P Q 两点 点P在第一象限 PE x 轴 垂足为E 连 结 QE 并延长交C 于点 G i 证明 PQG 是直角三角形 ii 求 PQG 面积的最大值 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分
10、 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 22 10 分 在极坐标系中 O 为极点 点M 0 0 0 0 在曲线 C 4sin 上 直线 l 过点 A 4 0 且与 OM 垂直 垂足为P 1 当 0 时 求 0及 l 的极坐标方程 2 当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时 求P 点轨迹的极坐标方程 选修 4 5 不等式选讲 10 分 23 已知 f x x a x x 2 x a 1 当 a 1时 求不等式f x 0 的解集 2 当 x 1 时 f x 0 求 a 的取值范围 第 5 页 共 17 页 吉林省 2019 年高考数学理科试卷答案解析 一 选择题 本题共12 小题 每小
11、题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 分析 根据题意 求出集合A B 由交集的定义计算可得答案 解答 解 根据题意 A x x2 5x 6 0 x x 3 或 x 2 B x x 1 0 x x 1 则 A B x x 1 1 故选 A 点评 本题考查交集的计算 关键是掌握交集的定义 属于基础题 2 分析 求出 z的共轭复数 根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可 解答 解 z 3 2i 在复平面内对应的点为 3 2 在第三象限 故选 C 点评 本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义 属基础题 3 分析 由 先求出的坐标 然后根据 1 可求 t
12、 结合向量数量积定 义的坐标表示即可求解 解答 解 2 3 3 t 1 t 3 1 t 3 0 即 1 0 则 2 故选 C 点评 本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示 属于基础试题 4 分析 由 推导出 3 3 由此能求出 r R 解答 解 r R 第 6 页 共 17 页 r 满足方程 R r 3 3 r R 故选 D 点评 本题考查点到月球的距离的求法 考查函数在我国航天事业中的灵活运用 考 查化归与转化思想 函数与方程思想 考查运算求解能力 是中档题 5 分析 根据题意 由数据的数字特征的定义 分析可得答案 解答 解 根据题意 从9 个原始评分中去掉1 个最高分 1 个最低分
13、 得到7 个有 效评分 7 个有效评分与9 个原始评分相比 最中间的一个数不变 即中位数不变 故选 A 点评 本题考查数据的数字特征 关键是掌握数据的平均数 中位数 方差 极差的 定义以及计算方法 属于基础题 6 分析 取 a 0 b 1 利用特殊值法可得正确选项 解答 解 取 a 0 b 1 则 ln a b ln1 0 排除 A 排除 B a 3 03 1 3 1 b3 故 C 对 a 0 1 1 b 排除 D 故选 C 点评 本题考查了不等式的基本性质 利用特殊值法可迅速得到正确选项 属基础题 7 分析 充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论 解答 解 对于A 内有无数条直线与 平
14、行 或 对于 B 内有两条相交直线与 平行 对于 C 平行于同一条直线 或 对于 D 垂直于同一平面 或 第 7 页 共 17 页 故选 B 点评 本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理 考查了推理能力 属于基 础题 8 分析 根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得 解答 解 由题意可得 3p p 2 解得 p 8 故选 D 点评 本题考查了抛物线与椭圆的性质 属基础题 9 分析 根据正弦函数 余弦函数的周期性及单调性依次判断 利用排除法即可求解 解答 解 f x sin x 不是周期函数 可排除D 选项 f x cos x 的周期为 2 可排除C 选项 f x sin2x 在处取得
15、最大值 不可能在区间 单调递增 可排除B 故选 A 点评 本题主要考查了正弦函数 余弦函数的周期性及单调性 考查了排除法的应用 属于基础题 10 分析 由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin cos 2cos 2 结合角的范围可求 sin 0 cos 0 可得 cos 2sin 根据同角三角函数基本关系式即可解得sin 的值 解答 解 2sin2 cos2 1 可得 4sin cos 2cos2 0 sin 0 cos 0 cos 2sin sin2 cos2 sin2 2sin 2 5sin2 1 解得 sin 故选 B 点评 本题主要考查了二倍角的三角函数公式 同角三角函数基本关系式在
16、三角函数 化简求值中的应用 考查了转化思想 属于基础题 11 分析 由题意画出图形 先求出PQ 再由 PQ OF 列式求 C 的离心率 解答 解 如图 第 8 页 共 17 页 由题意 把x 代入 x2 y 2 a2 得 PQ 再由 PQ OF 得 即 2a2 c2 解得 e 故选 A 点评 本题考查双曲线的简单性质 考查数形结合的解题思想方法 是中档题 12 分析 因为 f x 1 2f x f x 2f x 1 分段求解析式 结合图象可得 解 答 解 因 为f x 1 2f x f x 2f x 1 x 0 1 时 f x x x 1 0 x 1 2 时 x 1 0 1 f x 2f x 1 2 x 1 x 2 0 x 2 3 时 x 1 1 2 f x 2f x 1 4 x 2 x 3 1 0 第 9 页 共 17 页 当 x 2 3 时 由 4 x 2 x 3 解得 x 或 x 若对任意x m 都有 f x 则 m 故选 B 点评 本题考查了函数与方程的综合运用 属中档题 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 分析 利用加权平均数公式直接求解 解答 解
