理论力学动力学课件.ppt

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1、理论力学（运动学）教教 材材:理论力学陈国平罗高作主编武汉理工大学出版社参考书参考书:建筑力学钟光珞张为民编著中国建材工业出版社建筑力学周国瑾等编著同济大学出版社理论力学范钦珊主编清华大学出版社10 10 质点动力学质点动力学第第10章章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程10-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律） 第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律） 将动力学基本方程将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为质表示为微分形式的方程，称为质点的运动

2、微分方程。点的运动微分方程。1.矢量形式矢量形式2.直角坐标形式直角坐标形式10-2 质点运动微分方程的形式质点运动微分方程的形式 X=max Y=may 3.自然形式自然形式 质点运动微分方程还可有极坐标形式质点运动微分方程还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。1.1.第一类第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 10-3 10-3 质点动力学两类问题质点动力学两类问题解题步骤和要点：解题步骤和要点： 正确选择研

3、究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 正确进行受力分析正确进行受力分析, ,画出受力图画出受力图( (应在一般位置上进行分析应在一般位置上进行分析) )。 正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 求解未知量。求解未知量。桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求求钢丝绳的最大拉力。解解：选重物(

4、抽象为质点)为研究对象 受力分析如图所示运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。例例1例例题题1. 曲柄连杆机构如图所示曲柄连杆机构如图所示.曲柄曲柄OA以匀角速度转动以匀角速度转动,OA = AB = r.滑块滑块B的运动方程为的运动方程为x = 2rcos .如滑块如滑块B的质量为的质量为m,摩擦及连杆摩擦及连杆AB的质量不计的质量不计.求当求当 = t = 0 时连杆时连杆 AB所受的力所受的力.OAB B解解:取滑块取滑块B为研究对为研究对象象.由于杆的质量不计由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力为二力杆。滑块受力如图。如图。NmgF x =2rcos=tax =-2r2cos

5、max=-FcosF=-2mr2umgs例：例：质量为质量为 m 长为长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为为u , = 0。分析小球的运动。分析小球的运动。解：解：1、取研究对象画受力图、取研究对象画受力图、 确定坐标系确定坐标系 2、建立微分方程、建立微分方程 3、求解并分析小球运动、求解并分析小球运动F n运动微分方程运动微分方程分析小球的运动分析小球的运动（微幅摆动）（微幅摆动）列出自然形式的质点运动微方程求解未知量注注减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起

6、，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。FNa a 已知：已知：已知：已知：P P， 。求求求求 f fminmin。解解解解解解: : : （1 1） 取物块为研究对象，取物块为研究对象，取物块为研究对象，取物块为研究对象， 画受力图画受力图画受力图画受力图PFa a （2 2） 研究对象运动分析研究对象运动分析研究对象运动分析研究对象运动分析 （3 3） 列方程求解求知量列方程求解求知量列方程求解求知量列方程求解求知量yx例题例题211-1 动量与冲量动量与冲量质点的动量质点的动量质点的动量质点的动量 质点的质量与质点速度的乘积质点的质量与质点速度的乘积质点的质量与质点速度的乘积质点的质量与

7、质点速度的乘积 质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为点速度的方向一致。其单位为点速度的方向一致。其单位为点速度的方向一致。其单位为 kgm/skgm/s或或 NsNs1 1 动动动动 量量量量质点系的动量质点系的动量质点系的动量质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系质点系的动量，又称为质点系质点

8、系的动量，又称为质点系质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。动量的主矢。动量的主矢。动量的主矢。11 动量定理动量定理m1m2mn根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式zoxyrCCrimivCO OvCO C C2 2 冲冲冲冲 量量量量力在作用时间上的累积效应力在作用时间上的累积效应力在作用时间上的累积效应力在作用时间上的累积效应力的冲量力的冲量力的冲量力的冲量 a a. . 常力常力常力常力b b. . 变力变力变力变力冲量为矢量，其单位与动量单位相同为冲量为矢量，其单位与动量单位相同为冲量为矢量，其单位与动量单位相同为冲量为矢

9、量，其单位与动量单位相同为 NsNs11-2 动量定理动量定理1. 1. 质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理 质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间内的冲量。点上的力在同一时间内的冲量。点上的力在同一时间内的冲量。点上的力在同一时间内的冲量。2.

10、 2. 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理 其中：其中：或：或：微微分分形形式式积积分分形形式式1. 1. 质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩质点的动量矩12.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz MO(mv)=mvh=2OAB MO(mv)定位矢量定位矢量定位矢量定位矢量12 动量矩定理动量矩定理2. 2. 质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩Oriviyxzm1mim2 质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点O O的的的的动量矩的矢量和

11、，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系对点对点对点对点O O的动量矩。的动量矩。的动量矩。的动量矩。 v vi irimiy yx xz z令：令： J Jz z刚体对刚体对刚体对刚体对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。3.

12、3. 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩2. .定轴转动刚体定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体动量矩计算三、刚体动量矩计算1. .平移刚体平移刚体 平移刚体可视为质量集中于质心的平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。质点来计算对点（或轴）的动量矩。 对转轴对转轴的动量矩的动量矩3. .平面运动刚体平面运动刚体质点系对质心的动量矩质点系对质心的动量矩OxyzxyzCmivi动坐标为平移坐标

13、系动坐标为平移坐标系质点系对质点系对O点的动量矩点的动量矩平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。和用相对速度计算是相等的。动量矩动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量

14、矩平动刚体对转动轴的动量矩平动刚体对转动轴的动量矩zzJL =刚体平面运动的动量矩刚体平面运动的动量矩刚体平面运动的动量矩刚体平面运动的动量矩解解：例例1 滑轮滑轮A：m1，R1，J1 滑轮滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体物体C：m3 求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。解解: v =r 。 例例2求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。例例题题3. 重重150N的均质圆盘的均质圆盘B与重与重60N,长长24 cm的均质直的均质直杆杆AB在在 B处用铰链连接如图处用铰链连接如图. 求求系统对系统对A点的动量矩。点的动量矩。B ABC圆盘圆盘B平动平动,杆杆AB作定轴转动

15、作定轴转动.=+lvgWJBBAvB 1) 1) 质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理 质点对某质点对某质点对某质点对某定点定点定点定点 的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。4. 动量矩定理动量矩定理)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd=+=+=)()(FMvMOOmdtd= 3. 3. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 其中：

16、其中：其中：其中：=)(e)izzMLdtdF 质点系对某质点系对某质点系对某质点系对某定点定点定点定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的质点系的质点系的质点系的外力外力外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象 均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为均质圆轮半径为R R、质量为质量为质量为质量为m m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动圆

17、轮对转轴的转动惯量为惯量为惯量为惯量为J JOO。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物。圆轮在重物P P带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴带动下绕固定轴O O转动，转动，转动，转动，已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为已知重物重量为WW。求求求求：重物下落的加速度：重物下落的加速度：重物下落的加速度：重物下落的加速度O OPWWv v m mg gF FOxOxF FOyOyWRMoe=)(应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理应用动量矩定理)(eOMotdLd=例题例题例题例题 1 1vRgWJLOO+=Rv=vRgWRJLOO)(+=WRdtdvRgWRJO=+)(v vi

18、 irimiF F1 1F F2 2F Fn nF Fi iy yx xz z 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。12.2 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程)(F=z zz zMJaCmgO解：取摆为研究对象解：取摆为研究对象求：求： 微小摆动的运动方程微小摆动的运动方程已知：已知：m，a

19、，JO。 sin22mgadtdJO- -= =摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：sin022= =+ + OJmgadtd例题例题 212.3 12.3 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2mdJzCJz+=: :物体对平行轴的转动惯量物体对平行轴的转动惯量物体对平行轴的转动惯量物体对平行轴的转动惯量dJzJzC: :物体对质心轴的转动惯量物体对质心轴的转动惯量物体对质心轴的转动惯量物体对质心轴的转动惯量m: :物体的质量物体的质量物体的质量物体的质量: :质心轴与平行轴间的距离质心轴与平行轴间的距离质心轴与平行轴间的距离质心轴与平行轴间的距离CBAz

20、Cz2)2(lmJCzJz+=212lm+24lm231ml=1. 1. 平行轴定理平行轴定理平行轴定理平行轴定理5. 5. 回转半径回转半径回转半径回转半径2mJz z=惯性半径惯性半径( (回转半径回转半径) )= =mJzzr rOC已知：已知：已知：已知： m m ，R R 。解：解：解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象mgFOyFOxmgRJO=2222321mRmRmRJO=+=解得：解得：解得：解得：例题例题例题例题 3 3求：角加速度求：角加速度 12.4 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程刚体平面运动刚体平面运动 =刚体随质心平动

21、刚体随质心平动 + 刚体绕质心转动刚体绕质心转动刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程= = =yFxFCxm.Cym. = =)(eiCMFCJ .已知已知已知已知： m m ，R, fR, f ， 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg( (a a) ) 斜面光滑斜面光滑斜面光滑斜面光滑aC解：解：解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象sin= = = =CCxxmamamgF cos0sinmgFgaNC= 圆盘作平动圆盘作平动圆盘作平

22、动圆盘作平动0cos= = =- -= =CyNymaFmgF 0= = =CCMJ 例题例题例题例题 4 4(b) 斜面足够粗糙斜面足够粗糙 RaC= = cossin31sin32sin32mgFmgFRggaNC= = = = =CFNaCmgF由由 得：得： Nf FFtan31gf满足纯滚的条件：满足纯滚的条件：maFmgC FRJC= =-=sinxFFmgN=-=0cosyF解解: 取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。受力分析如图示。 运动分析：运动分析： v =r 由动量矩定理：由动量矩定理：已知已知: 。求求 ;e e滑轮重P；半径为r；PPBA例例

23、513 动能定理动能定理质点的动能质点的动能221mvT = =质点系的动能质点系的动能 动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种一次方成正比，是一个

24、矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为度量。动能与功的量纲相同，也为度量。动能与功的量纲相同，也为度量。动能与功的量纲相同，也为 J J 。13.1质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能= =iiivmT221刚体的动能刚体的动能刚体的动能刚体的动能a. 平动刚体的动能平动刚体的动能b. 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能221CmvT = v vi irimiy yx xz z21zJT=2c. c. 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能PCd v vC C222121CCJmvT+=Cv vC C均质圆盘在地面上均质圆盘在地面上作纯滚动

25、时的动能作纯滚动时的动能均质圆盘在平板上均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能作纯滚动时的动能 v例例1vABC解：PP 为为AB杆的瞬心杆的瞬心均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m，上端，上端B靠在光滑的墙上，下端靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为用铰与质量为M半径为半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹，杆与水平线的夹角角 =45o，求该瞬时系统的动能。，求该瞬时系统的动能。例例2a. 常力的功常力的功b. 变力的功变力的功FMM1M2SsFW =cos功是代数量，其国

26、际单位制为功是代数量，其国际单位制为 J（焦耳）。焦耳）。dsFWdcos=sdsFW0cos13.2 力的功力的功c.（1）重力的功）重力的功x=12-)(21zzmgW 重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。与运动轨迹形状无关。与运动轨迹形状无关。与运动轨迹形状无关。质点系：质点系：质点系：质点系：)(2112CCzzmgW-=几种常见力的功几种常见力的功（2）弹性力的功）弹性力的功)(22221dd-=kW弹性力的功只与弹簧的起弹性力的功只

27、与弹簧的起始变形和终了变形有关，始变形和终了变形有关，与力作用点的路径无关。与力作用点的路径无关。当刚体转动时，转角当刚体转动时，转角 与弧长与弧长s的关系为的关系为力力F在刚体从角在刚体从角 1 1转到转到 2 2所作的功为所作的功为作用于转动刚体上的力的功，作用于转动刚体上的力的功，力偶的功力偶的功作用面垂直转轴的常力作用面垂直转轴的常力偶偶M， 则力偶作的功为则力偶作的功为（3 3）d s=dR12)M=W1-(2定轴转动定轴转动定轴转动定轴转动刚体刚体上作用力的功上作用力的功上作用力的功上作用力的功（4）平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功等于力系向质心平

28、面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。简化所得的力和力偶做功之和。MiCF Fi idrCdriCd d（5） 只要只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。 刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。于零。但变形体内力功之和不为零。但变形体内力功之和不为零。质点系内力的功质点系内力的功 刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。约束力元功为

29、零或元功之和为零的约束称为理想约束。5. .柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3. .刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动4. .联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）2. .固定铰支座、活动铰支座和向心轴承固定铰支座、活动铰支座和向心轴承1. .光滑固定面约束光滑固定面约束理想约束力的功理想约束力的功（6）法向力法向力 ，摩擦力作用于瞬心，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移处，而瞬心的元位移(b) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功(

30、a) 动滑动摩擦力的动滑动摩擦力的功功FN=常量时常量时, W= fFN S, 与质点的路径有关。与质点的路径有关。 圆轮沿固定面作纯滚动时，圆轮沿固定面作纯滚动时，摩擦力是静摩擦力，不作功摩擦力是静摩擦力，不作功! !(7) 摩擦力的功摩擦力的功如如图图所所示示滑滑块块重重P9.8 N，弹弹簧簧刚刚度度系系数数k0.5 N/cm，滑滑块块在在A位位置置时时弹弹簧簧对对滑滑块块的的拉拉力力为为2.5 N，滑滑块块在在20 N的的绳绳子子拉拉力力作作用用下下沿沿光光滑滑水水平平槽槽从从位位置置A运运动动到到位位置置B，求求作作用用于于滑块上所有力的功的和。滑块上所有力的功的和。解解：滑滑块块在在

31、任任一一瞬瞬时时受受力力如如图图。由由于于P与与N始始终终垂垂直直于于滑滑块块位位移移，因因此此，它它们们所所作作的的功功为为零零。所所以以只只需需计计算算T 与与F的功。先计算的功。先计算T 的功：的功： 在在运运动动过过程程中中，T 的的大大小小不不变变，但但方方向向在在变变，因此因此T 的元功为的元功为TPFFN因此因此T在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为T15cmBA20cmx例例1再计算再计算F的功：的功： 由题意：由题意：因此因此F在整个过程中所作的功为在整个过程中所作的功为因此所有力的功为因此所有力的功为T15cmBA20cm另另外外F= kd一、质点的动能定理：一、质

32、点的动能定理：动能定理的微分形式动能定理的微分形式动能定理的积分形式动能定理的积分形式13.313.3动能定理动能定理因此因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径将上式沿路径 积分，可得积分，可得动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以两边点乘以 ，有，有牛顿定律牛顿定律O OPWWv v均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为质量为m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动惯量为惯量为JO。圆轮在重物。圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O转动，转动，已知重物重量为已知重物重量为W。求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度求：重物下落的加速度 s解：解：解：

33、解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象222121210OJvgWTT+=主动力的功：主动力的功：主动力的功：主动力的功：Rv=WsW=12由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：WsvRJvgWO=-+02121222将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意将上式对时间求导，并注意vdtdsadtdv=,例题例题例题例题 1 1O OPWWv v s解得：解得：解得：解得：已知已知： m ，R, f ， 。 求：求：求：求： 纯滚时盘心的加速度。纯滚时盘心的加速度。纯滚时盘心的加速度。纯滚时盘心的加速度。CFNmg

34、vC F解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象s222121210CCJmvTT+=RvC=主动力的功：主动力的功：主动力的功：主动力的功：sin12mgsW=由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：sin0432mgsmvC=-2243CmvT=解得：解得：解得：解得：例题例题例题例题 2 2例题例题例题例题 3 3图示系统中图示系统中,重物重物A质量为质量为m1 ,系在绳子上，绳子跨过系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮不计质量的固定滑轮D并绕在鼓轮并绕在鼓轮B上，由于重物下降，上，由于重物下降，带动了轮带动了轮C，使它沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮，使它沿水平

35、轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为半径为r，轮，轮C的半径为的半径为R，两者固连在一起，总，质，两者固连在一起，总，质量为量为m2，对于其水平轴，对于其水平轴O 的回转半径为的回转半径为。求重物。求重物A下落距离下落距离h时的加速度。时的加速度。(绳重不计，绳不可伸长，初绳重不计，绳不可伸长，初始时系统静止始时系统静止)OBCDAOBCDAm1gsv v 解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象2212121210PJvmTT+=PrRv+=由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：2222RmmJP+=r主动力的功：主动力的功：主动力的功：主

36、动力的功：gsmW112=2222212)(21vrRRmmT+=r由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：gsmvrRRmm12222210)(21=-+rOBCDAm1gsv v P解得：解得：解得：解得：OCBPOACBPF已知已知已知已知：轮轮轮轮 O O 质量为质量为质量为质量为 m m，P P，f f 。求求求求： 轮轮轮轮 O O 移动距离移动距离移动距离移动距离 S S 时时时时 轮的角速度、角加速度。轮的角速度、角加速度。轮的角速度、角加速度。轮的角速度、角加速度。FTFNmg 解：解：解：解：取轮取轮取轮取轮 O O 为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象

37、2222222143)21(21210mRmRmRJTTC=+=力的功：力的功：力的功：力的功：mgfsPsW212-=由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：由动能定理得：mgfsPsmR204322-=-例题例题例题例题 4 4OCBPOACBPFFTFNmg 解得：解得：解得：解得：卷扬机如图，鼓轮在常力偶卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为轮的半径为R1，质量为，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为径为R2，质量为，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆，圆柱只滚

38、不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程经过路程 的速度。的速度。 解：以系统为研究对象，解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为所有力所作的功为系统在初始及终了两状态的动能分别为系统在初始及终了两状态的动能分别为FNFSm2gm1gFOxFOyMOC例例5其中其中于是于是由由得得解之得解之得FNFSm2gm1gFOxFOyMOC作业作业求物块求物块A由静止下降至由静止下降至任意位置任意位置(x)时的加速时的加速度度?k , lk , l0 0O Ox xx xA AB BRC Cr rmgmgm

39、g人用手推车人用手推车力力 是由于小车具有惯性，力图保持原是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体来的运动状态，对于施力物体(人手人手)产产生的反抗力。称为小车的生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力。一、惯性力的概念惯性力的概念 注注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。14 动静法动静法14.1.1 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理定义：质点惯性力定义：质点惯性力 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。性反抗的

40、总和。ma=-G14.1 达朗伯原理达朗伯原理二、质点的二、质点的达朗伯达朗伯原理原理G=ma质点的质点的达朗伯达朗伯原理原理= maF=ma0F0+G=F即：即：在质点运动的任一瞬时在质点运动的任一瞬时, , 作用于质点上的主动力、作用于质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡约束力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系力系。这就是。这就是质点的质点的达朗伯达朗伯原理原理。14.1.2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度匀加速运动时，

41、单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢，相对于车厢静止。求车厢的加速度的加速度 。例题例题 1 角随着加速度角随着加速度 的变化而变化，当的变化而变化，当 不变时，不变时， 角角也不变。只要测出也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度角，就能知道列车的加速度 。摆式。摆式加速计的原理。加速计的原理。由动静法由动静法, 有有 解得解得 选单摆的摆锤为研究对象选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力虚加惯性力 解：解：O O1 1x x1 1y y1 1离心调速器离心调速器离心调速器离心调速器已知：已知：已知：已知：m m1 1球球球球A A、B B 的质量；的质量；的质量；的质量；m m2 2重锤重

42、锤重锤重锤C C 的质量；的质量；的质量；的质量；l l杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度； O O11y y1 1轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。求：求：求：求： 的关系。的关系。的关系。的关系。 B BA AC Cl ll ll ll l 解：解：解：解： 1 1、分析受力：以球、分析受力：以球、分析受力：以球、分析受力：以球 B B( (或或或或A A) )和重锤和重锤和重锤和重锤C C为研究对象，分析所受的主动力和约束力为研究对象，分析所受的主动力和约束力为研究对象，分析所受的主动力和约束力为研究对象，分析所受的主动力和约束力B BF FT1

43、T1F FT2T2m m1 1 g gC CF FT3T3m m2 2 g gF FT1T1 2 2、分析运动：施加惯性力。、分析运动：施加惯性力。、分析运动：施加惯性力。、分析运动：施加惯性力。 球绕球绕球绕球绕O O1 1y y1 1轴作等速圆周轴作等速圆周轴作等速圆周轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向运动，惯性力方向与法向运动，惯性力方向与法向运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为加速度方向相反，其值为加速度方向相反，其值为加速度方向相反，其值为G Gm m1 1l l 2 2sinsin 重锤静止，无惯性力。重锤静止，无惯性力。重锤静止，无惯性力。重锤静止，无惯性力。F FI I

44、例题例题例题例题 2 2B BF FT1T1F FT2T2m m1 1 g gC CF FT3T3m m2 2 g gF FT1T1 F FI I3 3、应用动静法：、应用动静法：、应用动静法：、应用动静法：对于重锤对于重锤对于重锤对于重锤 C C对于球对于球对于球对于球 B B14.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化一、平动刚体的惯性力一、平动刚体的惯性力Gc=acM作用在质心上作用在质心上二、定轴转动刚体的惯性力二、定轴转动刚体的惯性力Go=acMGo=JoM 作用在定点作用在定点三、平面运动刚体的惯性力三、平面运动刚体的惯性力Gc=acM=JcGcM 作用在质心上作用在质心上习题习

45、题1AOC nGGGcMOC nGGGcMnma=nGcma=GcC GcM cGGcMrC 重重P、半径为、半径为r的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心的斜面向下滚动。求轮心C 的的 加速度。加速度。 解：以解：以圆轮圆轮为研究对象为研究对象, 受力如图受力如图, 建立如图坐标。建立如图坐标。 圆轮作平面运动圆轮作平面运动, 轮心作直线运动轮心作直线运动, 则则将将惯惯性性力力系系向向质质心心简简化化, 惯惯性性力力和和惯惯性性力力偶偶矩矩的的大大小小为为CrFSFgMgFNPxyaC则由质点系的达朗伯原理则由质点系的达朗伯原理例例3 3解之得解之得rCFSFgMgF

46、NPxyaC均质杆长均质杆长l ,质量质量m, 与水平面铰接与水平面铰接, 杆由与平面成杆由与平面成 0角位置，由角位置，由静止落下。求刚开始落下时杆静止落下。求刚开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A支座的约束力。支座的约束力。解解： 选杆选杆AB为研究对象，为研究对象， 虚加惯性力系：虚加惯性力系： 根据动静法，有根据动静法，有g2RmlFt te e= =例例4gRmaFt t= =t tgRFn=m R2man单个物体的动力学问题，用动静法或单个物体的动力学问题，用动静法或动力学普遍方程求解区别不大。但是动力学普遍方程求解区别不大。但是物体系统的动力学问物体系统的动力学问题，用动静

47、法求解比用动力学普遍方程求解简单得多题，用动静法求解比用动力学普遍方程求解简单得多。解方程得：解方程得：特别注意：特别注意：在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必在画虚加的惯性力系的主矢和主矩时，必须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向须按照和质心加速度的方向相反以及与角加速度转向相反相反(考虑负号考虑负号)的原则画出。在方程中只需按其数值的原则画出。在方程中只需按其数值的大小代入，不能再带负号！的大小代入，不能再带负号！质量为质量为m1和和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为半径为r1和和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对

48、于转轴并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。度。 取系统为研究对象取系统为研究对象解：方法解：方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解例例虚加惯性力和惯性力偶：虚加惯性力和惯性力偶：由质点系的达兰贝尔原理：由质点系的达兰贝尔原理：列补充方程：列补充方程： 代入代入上式上式得：得：习题习题2C AO1BO2 AO1CABnGnma=nGcma=Gc2L=m2L=m2Go=JoM nG习题习题3一一 图图示示系系统统中中，物物块块A和和半半径径为为R的的均均质质圆圆轮轮B的的质质

49、量量均均为为m1，圆圆轮轮B可可在在水水平平面面上上作作纯纯滚滚动动；均均质质定定滑滑轮轮C的的半半径径为为r，质质量量为为m2，弹弹簧簧刚刚度度为为k，初初始始时时系系统统处处于于静静止止，且且弹弹簧簧恰恰为为原原长长。试试用用动动能能定定理理求求物物块块A下下降降距距离离s时时的的速速度度和和加加速速度度。绳绳子子的质量和轴的质量和轴C处的摩擦忽略不计。处的摩擦忽略不计。AkCBAkCB2T=10T =p21pJ2B+21CJ2C+221v1m2Rv=BW =pJ=231m212R +1m2R =1m2RCJ=2m212rrv=C1mg21k21(s)22T=1TW41128212mmksgma+-=4112162122mmksgsmV+-=