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1、初中数学竞赛培训讲义第十讲 等腰三角形的性质研究一 竞赛知识简介（）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、
2、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点
3、。 3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。二 赛题讲解1 利用“等边对等角”性质求角例1 如图，分别是的平分线，若，求的度数.拓展训练1、如图，在中，,在上取点，在上取点，使，若，求的度数.2、如图，是直线，且，求的值.3、已知的三角形的边长的长分别为，且，试判定的形状.4、在中，已
4、知，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数.5、四边形中，,分别是的中点，交于,求证：. 2、等腰三角形中的全等构造 例2 在中，是的平分线，垂足是，已知，求证：. 例3 如图，在四边形中，,若,求证：例4 如图，在中，,是上一点，求证：. 拓展练习 1、如图，在中，,点是的中点，是的平分线，,求的长. 2、如图，中，于，,求证： 3、如图，在中，,是上一点，,求的度数.3、等边三角形中的几何问题例5 如图，中，分别以为边向外作等边三角形，记分别是等边三角形的中心.(1)求证：是等边三角形.(2) 若，求的面积.例6 边长为等边中，是边上的点，与交于点.(1) 若,的度数.(
5、2) ，求证：.拓展训练1、一个六边形的六个内角均为，连续四边的长依次是，求该六边形的周长和面积.2、是等边内一点,，求的长.3、如图，菱形中，,是边上的点，若中有一个内角是，求证：是等边三角形.4、构造等边三角形解题例7 如图，中，,为内一点，使得，求的度数.拓展练习1、中，,为内一点，且求的度数.2、如图，在等腰中，,在边上取点，使得，求的度数. 例8 如图，在中，.求证：. 拓展练习1、如图，在中，,是内一点，且，求证：.练习题1、在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和上，则（ ） 的大小关系不能确定.2、如图，已知等腰中，分别是上的点，且，求的度数.3、如图，在中，,分别在上，并且分别是的角平分线，求证：.4、如图，中，,延长到，延长到，使，联接，若，求证：是等边三角形.5、如图，中，,为内一点，使得，求的度数.第 8 页 共 8 页
