广东省广州市2020届高三12月调研测试数学理参考答案

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1、 理科数学试题参考答案 第 1 页 共 8 页 2020 届广州市高三年级调研测试参考答案 理科数学 一 选择题一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A C B A D A B C D 二 填空题二 填空题 13 5 24 14 135 15 6 16 6 10 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 1 解法解法 1 设 n a的公差为d 因为 n a为单调递增的等差数列 所以 0 d 由 25 34 18 80 aa aa 得 34 34 18 80 aa aa 解得 3 4 8 10 a a 所以2 34 aad 所以

2、 223 3 ndnaan 解法解法 2 设 n a的公差为d 因为 n a为单调递增的等差数列 所以0 d 由 25 34 18 80 aa aa 得 1 11 2518 2380 ad adad 解得 1 4 2 a d 所以 221 1 ndnaan 2 由 1 得 122 422 nnan 当2 n时 由422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb 得422222 1 1 1 3 3 2 2 1 n a n n bbbb 得2 43442 1 nb nnn n n 所以 2 23 nb n n 当1 n时 62 2 16 2 2 2 1 1 a b符合上式 所以 n n

3、b23 所以 21 216 n n S623 1 n 理科数学试题参考答案 第 2 页 共 8 页 18 1 证明 证明 因为四边形ABCD是菱形 所以 BDAC 又因为 BD平面ABCD 平面 AEFC平面ABCD 平面AEFC 平面 ABCD AC 所以 BD平面AEFC 因为 BD平面BDE 所以平面 BED平面AEFC 2 2 设 AC BD O 连接 OF 可知平面四边形 AEFC 为直角梯形 EA AC 又因为 AE 平面 AEFC 平面 AEFC 平面 ABCD AC 平面 AEFC 平面 ABCD 所以 AE 平面 ABCD 因为EF AC 1 2 AC AOEF 所以AE O

4、F 所以OF 平面 ABCD 解法 1 解法 1 以 OB OC OF分别为 x y z 轴建立如图所示空间坐标系 则 3 0 0B 0 1 0C 3 0 0D 0 1 0A 0 1 2E 0 0 2F 设平面 BCF 的法向量 1111 zyxn 因为 0 1 3 BC 2 0 3 BF 则 0 0 1 1 BFn BCn 即 11 11 30 320 xy xz 令 1 2x 解得 3 32 2 1 n 设平面的CDF法向量 2222 zyxn 因为 2 1 0 CF 0 1 3 CD 则 0 0 2 2 CFn CDn 即 22 22 20 30 yz xy 令 2 2x 解得 3 32

5、 2 1 n 因为 19 11 cos 21 21 21 nn nn nn 结合图像可知二面角BFCD 的余弦值为 11 19 理科数学试题参考答案 第 3 页 共 8 页 解法解法 2 因为ABCDFO面 且ABCDBD面 所以BDFO 因为O为BD中点 所以FDBF 又CDBC FCFC 所以DFCBFC 过B作FCBG 交FC于G点 连结GD 则FCDG 所以BGD 为二面角DFCB 的平面角 在Rt FBO 中 3 2 3 2 BO 2 FO 所以 732 2 2 BF 322 BOBD 同理5 CF 在Rt FBC 中 7 BF 2 BO 5 CF 由三角形面积公式得 5 19 BG

6、 则 5 19 DG 在BGD 中 19 11 5 19 2 12 5 19 5 19 cos BGD 所以二面角BFCD 的余弦值为 11 19 19 解解 1 1 因为YX 且 600 300 YX 所以 YgXg 当 400300 X 时 03003210041800 XXXXgXf 当 600400 X 时 03004210041800 XXXgXf 故当 400300 X 时 XgXf 当 600400 X 时 XgXf 2 送餐量x的分布列为 x 1313 1414 1616 1717 1818 2020 P P 则 16 15 1 20 15 1 18 5 1 17 5 2 16

7、 5 1 14 15 1 13 xE 送餐量 y 的分布列为 y 11 13 14 15 16 18 P P 理科数学试题参考答案 第 4 页 共 8 页 则 14 30 1 18 6 1 16 10 1 15 5 2 14 6 1 13 15 2 11 yE 60030048030 xEXE yEYE40042030 A公司外卖配送员 估计月薪平均为 372041800 XE元 B公司外卖配送员 估计月薪平均为 378042100 YE元 因为 3780 元3720 元 所以小王应选择做B公司外卖配送员 20 解 解 1 由已知得 2 3b 3ac 222 abc 所以所求椭圆C的方程为 2

8、2 1 43 xy 2 解法 解法 1 因为过 1 0F的直线与椭圆C交于A B两点 A B不在x轴上 所以设 1l xty 由 22 22 1 34690 1 43 xty tyty xy 设 11 A x y 22 B xy 则 12 2 12 2 6 34 9 34 t yy t y y t 因为OEOAOB AOBE为平行四边形 所以3 AGBEAOBEOGBAOB SSSS 2 2 121212 2 33181 4 2234 t yyyyy y t 令 2 11 tm 得 2 1818 1 31 3 m S m m m 由函数的单调性易得当1m 即0t 时 max 9 2 S 解法解

9、法 2 因为OEOAOB 所以AOBE为平行四边形 所以3 AGBEAOBEOGBAOB SSSS 当直线AB的斜率不存在时 9 3 2 AGBEAOB SS 当直线AB的斜率存在时 设为 1yk x 理科数学试题参考答案 第 5 页 共 8 页 由 222 22 1 43690 1 43 yk x kykyk xy 设 11 A x y 22 B xy 则 12 2 2 12 2 6 43 9 43 k yy k k y y k 所以3 AGBEAOB SS 42 2 121212 2 3318 4 2243 kk yyyyy y k 令 2 433km 得 2 9129 31 22 S m

10、m 综上可知 max 9 2 S 21 1 解 解 由xkxx x fln 2 知函数的定义域为 0 则 x kxx x k x x f 2 2 12 令0 x f得02 2 kxx 其k81 当081 k即 8 1 k时 0 x f在 0上恒成立 所以 xf在 0上为单调递增函数 当081 k即 8 1 k时 1 式的两根为 4 811 1 k x 4 811 2 k x 若 8 1 0 k 则 21 0 xx 当 1 0 x x 2 x时有0 x f 当 21 x xx 时有0 x f 从而知函数 x f在 1 0 x 和 2 x单调递增 在 21 x x单调递减 若0 k 则 21 0

11、xx 当 2 0 x x 时有0 x f xx 2 时0 x f 从而知函数 x f的 在 2 0 x 单调递减 在 2 x单调递增 综上 当 8 1 k时 xf在 0上为单调递增函数 当 8 1 0 k时 x f在 1 0 x 和 2 x单 调递增 在 21 x x单调递减 当0 k时 x f的在 2 0 x 单调递减 在 2 x单调递增 理科数学试题参考答案 第 6 页 共 8 页 2 证明 证明 设 2 2g xxxk 由题意和 1 得 8 1 0 k 则极值点 12 x x为方程 0g x 的两根 且 12 1 0 4 xx 所以 12 1 2 xx 12 1 2 x xk 且 yf

12、x 在 1 0 x上单增 在 12 x x上单减 在 2 x 上单增 所以 1212 f xf xf xf x 22 111222 ln ln xxkxxxkx 1 12 2 1 ln 2 x xxk x 1 1 2 11 2 ln 22 x xk x 1 112 2 1 2ln 4 x xx x x 要证 1 11212 2 111 2ln24 444 x xx xkx x x 即证 112 222 1 ln22 2 xxx xxx 即证 11 22 ln1 xx xx 构造 ln 1 h xxx 01 x 2 11 1 x h x xx 0 1 x 时 0h x 所以 yh x 在 0 1

13、 上单增 1 0h xh 即1ln xx成立 综上可知 原不等式成立 理科数学试题参考答案 第 7 页 共 8 页 说明 说明 化简到 后的其他变形思路 思路思路 1 由 0g x 解得 1 11 8 4 k x 2 11 8 4 k x 则 21 1 8 2 k xx 1 2 1 41 8 4 xkk xk 先证明1ln xx 则由 得 12 f xf x 1 12 2 1 1 2 x xxk x 1 2 4 k 思路思路 2 令 1 2 x t x 结合 12 1 2 xx 12 1 2 x xk 其中01t 可得 1 21 t x t 2 1 21 x t 2 21 t k t 则由 得

14、 需证明 12 f xf x 1 12 2 11 ln2 24 x xxkk x 整理得 需证明ln1tt 01t 22 1 解 解 因为 m my m mx 1 1 所以 2 1 1 2 1 1 2 222 2 222 m m m my m m m mx 所以4 22 yx 所以曲线C的直角坐标方程为4 22 yx 把cosx siny 代入直线的极坐标方程03cossin3 得直线的直角坐标方程为033 xy 所以直线的直角坐标方程为033 yx 2 解法 解法 1 由 22 330 4 xy xy 解得 3 111 311 22 A 3 111 311 22 B 因为点 0 1 P 所以

15、11 1PA 11 1PB 所以 111111 511 111 1PAPB 理科数学试题参考答案 第 8 页 共 8 页 解法解法 2 因为点 0 1 P在直线l上 则直线l的参数方程为 3 2 1 1 2 xt yt t为参数 设A B对应的参数分别为 1 t 2 t 将 3 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx 得 2 2100 tt 044 10 14 2 2 所以 12 2 tt 12 100 t t 因为 1 PAt 2 PBt 所以 2 12121 2 121 21 2 4111144011 105 ttttt t PAPBttt tt t 所以 1111 5 PAPB 23 解 解 1 当2a 时 22 2 f xxx 由22 2 0 xx 解得2x 所以不等式 0f x 的解集为 2 2 因为 2 0 f 所以由 xa 时 0f x 得2a 当2a xa 时 2 2 f xxa xxxa 2 2 ax xx xa 2 2 0 axx 所以a的取值范围是 2