《高中数学北师大版必修一学案：第二章 3 函数的单调性（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版必修一学案：第二章 3 函数的单调性（二）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？梳理对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M，那么，我们称M是函数yf(x)的最大值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大值，记作ymaxf(x0)知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数yx2，x1,1的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值梳理一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对
2、应图像中的最低点，它们不一定只有一个类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)(x0)，求函数的最大值和最小值反思与感悟(1)若函数yf(x)在区间a，b上递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势跟踪训练1已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值
3、类型二求二次函数的最值例2(1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)x23，求函数f(x)的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一
4、般用于解答题跟踪训练2(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为hx22x，x0，求水流喷出的高度h的最大值是多少？类型三函数最值的应用例3已知x2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围引申探究把例3中“x(0，)”改为“x(，)”，再求a的取值范围反思与感悟恒成立的不等式问题，任意xD，f
5、(x)a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)mina来解决任意xD，f(x)a恒成立f(x)maxa.跟踪训练3已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围1函数yx1在区间，2上的最大值是()A B1 C. D32函数f(x)在1，)上()A有最大值无最小值 B有最小值无最大值C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值3函数f(x)x2，x2,1的最大值，最小值分别为()A4,1 B4,0C1,0 D以上都不对4已知函数f(x)则f(x)的最大值，最小值分别为()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不对5若不等式xa10对一切x(0，成立，则a的最小值为()A0 B2 C D
6、1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图像的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得答案精析问题导学知识点一思考最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的
7、元素与之对应，不是函数值知识点二思考x1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点题型探究例1解设x1，x2是区间(0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).当x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上递增；当1x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上递减f(x)maxf(1)，无最小值跟踪训练1解设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，
8、即f(x1)f(x2)所以函数y在区间2,6上是减函数因此，函数y在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是.例2解(1)函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上递减，在1,2上递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(
9、x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)(3)设t(t0)，则x23t22t3.由(1)知yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(4)作出函数h(t)4.9t214.7t18的图像(如图)显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，我们有：当t1.5时，函数有最大值h29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆
10、裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练2解(1)设x2t(t0)，则x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上递减，在1，)上递增当t1即x1时，f(x)min4，无最大值(2)函数图像的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)由函数hx22x，x0，的图像可知，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点此时函数取得最大值对于函数hx22x，x0，当x1时，函数有最大值hmax1221.于是水流喷出的最高高度是 m.例3解方法一令yx2xa，要使x2xa0对任意x(0，)恒成立，只需ymin0，解得a.实数a的取值范围是(，)方法二x2xa0可化为ax2x.要使ax2x对任意x(0，)恒成立，只需a(x2x)max，又(x2x)max，a.实数a的取值范围是(， )引申探究解f(x)x2x在(，)上为减函数，f(x)的值域为(，)，要使ax2x对任意x(，)恒成立，只需a，a的取值范围是，)跟踪训练3解x0，ax2x1可化为a.要使a对任意x(0,1恒成立，只需a()min.设t，x(0,1，t1.t2t(t)2.当t1时，(t2t)min0，即x1时，()min0，a0.a的取值范围是(，0当堂训练1C2.A3.B4.A5.D
