《高中数学人教版A版选修1-1学案：3.1.3 导数的几何意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教版A版选修1-1学案：3.1.3 导数的几何意义（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0).相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).知识点二函数的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数).f(x)也记作y，即f(x)
2、y.题型一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值.解yx33ax.y3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.反思与感悟一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪训练1求过曲线y在点处的切线方程.解因为.所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.题型二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程.解y
3、 (4x2x)4x.由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0).将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0).解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8xy150或16xy390.反思与感悟若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2求过点A(2,0)且与曲线y相切的直线方程.解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y|xx0，得所求直线方程为yy
4、0(xx0).由点(2,0)在直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为xy20.题型三求切点坐标例3在曲线yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角.解f(x)2x，设P(x0，y0)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点.(3)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1，即2x01，得x0，y0，即P是
5、满足条件的点.反思与感悟解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.跟踪训练3已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3).(2)抛
6、物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9).计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积.解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标.(3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为：求两曲线的交点坐标；求交点处两条切线的切线方程；求两切线与坐标轴的交点坐标；依据数形结合的思想计算图
7、形的面积.例4已知曲线y和yx2.求两曲线交点处的两条切线与y轴所围成的三角形的面积.解由解得即两曲线的交点坐标为(1,1).曲线y在点(1,1)处的切线的斜率为k1f(1)1，所以曲线y在点(1,1)处的切线方程为yx2.同理，曲线yx2在点(1,1)处的切线的斜率为k2 (2x)2，故曲线yx2在点(1,1)处的切线方程为y2x1.如图所示，两切线分别与y轴交于点(0,2)和(0，1)，其与y轴所围成的三角形的面积为S31.1.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )A.4B.16C.8D.2答案C解析f(2) (82x)8，即斜率k8.2.若曲线yx2axb
8、在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( )A.a1，b1B.a1，b1C.a1，b1D.a1，b1答案A解析由题意，知ky|x01，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3.已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.165答案B解析yx22，yx.y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.4.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_.答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0)4x04，令4x0416得x03，P(3,30).5.曲线y2x21在点P(1,3)处的切线方程为_.答案4xy
9、10解析y2(x1)212(1)212(x)24x，2x4， (2x4)4，由导数几何意义知，曲线y2x21在点(1,3)处的切线的斜率为4，切线方程为y4x1，即4xy10.1.导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.
