《高中数学人教版A版选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教版A版选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2椭圆的简单几何性质(二)学习目标1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点一点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解b0)或1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，|AB|，或|AB|.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方
2、程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.题型一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离.解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为yx4和yx4，显然yx4距l最近，d，切点为P.反思与感悟本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离b0)的左，右焦点，过点F1的直线
3、交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率.解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2
4、ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形.从而ca，所以椭圆E的离心率e.题型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2
5、(m21)，所以|AB|.当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练3如图，点A是椭圆C：1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(0
6、，t)，求t的取值范围.解直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.9，|cos45|2cos459，|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1).B在椭圆上，1，得a212，椭圆C的标准方程为1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范围是0t1B.m1且m3C.m3D.m0且m3答案B解析由(3m)x24mxm0，0，m1或m0且m3，m1且m3.2.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0
7、)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析将方程化为标准形式1，因为m0，所以a2，b2，所以c2a2b2，所以e.3.椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1y2|的值为()A.B.C.D.答案A解析易知ABF2的内切圆的半径r，根据椭圆的性质结合ABF2的特点，可得ABF2的面积Slr2c|y1y2|，其中l为ABF2的周长，且l4a，代入数据解得|y1y2|.4.椭圆x24y236的弦被点A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为()A.x2y0B.x2y40C.2x3y140D.x
8、2y80答案D解析设以点A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于点E(x1，y1)，F(x2，y2)，点A(4,2)为EF中点，x1x28，y1y24，把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x24y236中，得则得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，8(x1x2)16(y1y2)0，k，以点A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y2(x4)，整理得，x2y80.5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.答案0ec恒成立，由椭圆性质知|OP|b，bc，a22c2，()2，0e.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解.
