《高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 1.1 直角坐标系平面上的伸缩变换（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、_1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换对应学生用书P1读教材填要点1直角坐标系(1)直线上点的坐标在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，就构成了直线上的坐标系，简称数轴建立数轴后直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系(2)平面直角坐标系在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O称为原点取定长度单位，则构成了平面上的一个直角坐标系在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系(3)空间直角坐标系过空间中一个定点O，作三边互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系建立空间直角坐标系后，在空间中的点和
2、有序数组(x，y，z)之间就建立了一一对应关系2平面上的伸缩变换设点P(x，y)是平面上的任意一点，在变换(a0，b0)的作用下，变为平面上的新点Q(X，Y)，这种变换就是平面上的伸缩变换小问题大思维1用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便2伸缩变换中的系数a，b有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数a0，b0.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换对应学生用书P1用坐标法求轨迹方程例1已知点H(3,0)，点P
3、在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足0，.当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C.思路点拨设出动点M(x，y)，将0，坐标化后建立x，y的关系式可求得精解详析设M(x，y)，P(0，y)，Q(x，0)(x0)，0，(x，yy)(xx，y)，且(3，y)(x，yy)0，3xyyy20.将代入式得y24x(x0)即动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点)求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系设点列式化简检验(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验
4、轨迹的纯粹性和完备性(3)由于观察的角度不同，探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.求点P的轨迹C的方程解：设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOAkPA得，整理得轨迹C的方程为yx2(x0且x1).用坐标法解决几何问题例2已知ABC中，ABAC，BD，CE分别为两腰上的高求证：BDCE.思路点拨本题考查坐标法在几何中的应用解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题精解详析如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立
5、平面直角坐标系设B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)，则直线AC的方程为yxh，即hxayah0.直线AB的方程为yxh，即hxayah0.由点到直线的距离公式得|BD|，|CE|，|BD|CE|，即BDCE.(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F
6、分别是A1B1，BD的中点求E，F两点间的距离解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，E(1，1)，F(，0)|EF|，即E，F两点间的距离为.平面上的伸缩变换例3在同一坐标系下经过伸缩变换后，圆x2y21变成了什么曲线？思路点拨将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型精解详析代入圆的方程x2y21，有221，1.经过伸缩变换后，圆x2y21变成了椭圆1.利用坐标伸缩变换求变换后的曲线方程，其实质是从中求出然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程3在同
7、一直角坐标系中，将直线2xy3变成直线2X6Y9，求满足图形变换的伸缩变换解：设伸缩变换为将其代入2X6Y9，得2x6y9，与2xy3进行比较，得故伸缩变换为对应学生用书P3一、选择题1在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线Ysin X的伸缩变换是()A.B.C. D.解析：选B设将其代入Ysin X，得ysin x，即ysin x.比较y3sin 2x与ysin x，可得3，2，2.2已知平面上两定点A，B，且A(1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为1，则动点P的轨迹是()A直线 B圆的一部分C椭圆的一部分 D双曲线的一部分解析：选B设点P的坐标为(x，y)，因为k
8、PAkPB1，所以1，整理得x2y21(x1)故动点P的轨迹是圆除去点(1,0)，(1,0)的部分3将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆 B比原来大的圆C比原来小的圆 D双曲线解析：选D由伸缩变换的意义可得4已知两定点A(2,0)，B(1,0)如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A B4C8 D9解析：选B设P点的坐标为(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)2y2即(x2)2y24.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4.二、填空题5ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周长为10，则点A的轨迹
9、方程为_解析：ABC的周长为10，|AB|AC|BC|10，其中|BC|4，则有|AB|AC|64，点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且2a6,2c4，a3，c2，b25，点A的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)6将对数曲线ylog3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为_解析：设P(x，y)为对数曲线ylog3x上任意一点，变换后的对应点为P(X，Y)由题意知伸缩变换为代入ylog3x得Ylog3X，即ylog3.答案：ylog37把圆x2y216沿x轴方向均匀压缩为椭圆X21，则坐标变换公式是_解析：设：则代入x2y216得1.16a21,16b216.故答案：8设平面上的伸缩
10、变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下余弦曲线ycos x的方程变为_解析：代入ycos x得Y3cos 2X.答案：Y3cos 2X三、解答题9在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y28x120变成曲线X2Y24X30，求满足条件的伸缩变换解：x236y28x120可化为29y21.X2Y24X30可化为(X2)2Y21.比较，可得即所以将曲线x236y28x120上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线X2Y24X30的图象10如图，动点M与两定点A(1，0)，B(1,0)构成MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.求轨迹C的方程解：设M的坐标为(
11、x，y)，当x1时，直线MA的斜率不存在；当x1时，直线MB的斜率不存在于是x1且x1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有4，化简可得，4x2y240.故动点M的轨迹C的方程为4x2y240(x1且x1)11已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据的取值情况讨论轨迹C的形状解：(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPMkPN(0，x1)，整理得x21(0，x1)即动点P的轨迹C的方程为x21(0，x1)(2)当0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(1,0)，(1,0)；当1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)
