《高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲 二 用数学归纳法证明不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修4-5教学案：第四讲 二 用数学归纳法证明不等式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二用数学归纳法证明不等式对应学生用书P421利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立，推导nk1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行2归纳猜想证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法 对应学生用书P42利用数学归纳法证明不等式例1证明：2n2n2，nN.思路点拨证明(
2、1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左2226，右224，所以左边右边；当n3时，左23210，右329，所以左边右边因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3，则k30，k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)，原不等式对于任何nN都成立数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由nk到nk1时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式
3、进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程1用数学归纳法证明：(n2，nN)证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立即.当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，原不等式对一切n2，nN均成立2用数学归纳法证明：12(n2，nN)证明：(1)当n2时，12，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即12，当nk1时
4、，12Qn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，Pn0(nN)，对任意自然数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想思路点拨利用f(n1n2)f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明解(1)由于对任意自然数n1和
5、n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，猜想f(n)2n.证明：当n1时f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当nk1时，猜想也成立由知猜想正确，即f(n)2n.利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明4在数列an、bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列
6、，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜测an，bn的通项公式；(2)证明你的结论解：(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.(2)用数学归纳法证明：当n1时，由上知结论成立假设当nk时，结论成立即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)bk1(k2)2.所以当nk1时， 结论也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立5是否存在常数a，b，c使等式1222
7、32n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立，若存在，求出a，b，c并证明；若不存在，试说明理由解：假设存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)，对于一切nN都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(kN)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24
8、k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN都成立 对应学生用书P441用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01Bn02Cn01,2 D以上答案均不正确解析：需验证：n01时，x11成立答案：A2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D6解析：n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.答案：C3用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是()A2k1 B
9、2k1C2k D2k1解析：由nk到nk1，应增加的项数为(2k11)(2k1)2k项答案：C4若不等式对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A12 B13C14 D不存在解析：令f(n)，取n2,3,4,5等值，发现f(n)是单调递增的，所以f(n)min，所以由f(2)，求得m的最大值为13.答案：B5证明11)，当n2时要证明的式子为_解析：当n2时，要证明的式子为213.答案：21”时，n的最小取值n0为_解析：左边为(n1)项的乘积，故n02.答案：27设a，b均为正实数(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，则M，N的大小关系为_解析：当n1时，MabN.当n
10、2时，M(ab)2，Na22abM.当n3时，M(ab)3，Na33a2b22，不等式成立(2)假设当nk(k2)时不等式成立，即(12k)k2.则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，11，(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n1时，不等式成立9设数列an满足an1anan1，n1,2,3.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a3时，证明对所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a3
11、4，得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：用数学归纳法证明当n1，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，当nk1时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，有ann2.10设aR，f(x)是奇函数，(1)求a的值；(2)如果g(n)(nN)，试比较f(n)与g(n)的大小(nN)解：(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.故a1.(2)f(n)g(n).只要比较2n与2n1的大小当n1,2时，f(n)2n1，f(n)g(n)下面证明，n3时，2n2n1，即f(x)g(x)n3时，23231，显然成立，假设nk(k3，kN)时，2k2k1，那么nk1时
