《高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数互动课堂学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版必修1学案：2.2对数函数互动课堂学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 对数函数互动课堂疏导引导2.2.1对数与对数运算1.对数的定义一般地,如果ax=N(a0,a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log 10N记为lg N,以e(e=2.718 28)为底的对数称为自然对数,并且把logeN记为lnN.疑难疏引(1)因为a0,所以不论b是什么数,都有a b0,即不论b是什么数,N=a b永远是正数,这说明在相应的对数式b=loga N中真数N永远是正数,换句话说负数和零没有对数.(2)指数与对数的关系:ax=N(a0,a1)x=loga N.(3)负数和
2、零没有对数.2.对数的运算(1)换底公式:logab=,即有logcalogab=logcb;logba=,即有logablogba=1;logambn=logab;(2)对数恒等式:alogaN=N.疑难疏引换底公式是对数中一个非常重要的公式,这是因为它是对一个对数进行变形运算的主要依据之一,是对数的运算性质.3.对数式与指数式的关系【探究思路】 由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化.它们的关系可用下图表示.案例1下列四个命题中,真命题是()A. lg2lg3=lg5B. lg23=lg9C.若logaM+ N=b,则M+N=a bD.若log2M+
3、 log3N=log2N+log3M,则M=N【探究】 解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照,不难得出应选D.【溯源】 初学对数运算性质,容易犯下面错误:loga(MN)=logaMlogaN, loga(MN)=logaMlogaN, loga=,logaN n=(logaN) n.要注意:积的对数变为加,商的对数变为减,幂的乘方取对数,要把指数提到前.案例2求值:(1);(2)lg5lg20+lg22;(3)已知log23=a,3 b=7,求log1256的值.【探究】 (1)(2)严格按照指数、对数的运算法则计算,(3)先
4、将3 b=7转化为log37=b,然后设法将log1256化成关于log23和log37的表达式即可求值.(1) = =.(2)lg5lg20+lg22=lg5(lg4+lg5)+lg22=2lg2lg5+lg25+lg22=(lg2+lg5) 2=1.(3)解法一:log23=a,2 a=3.又3 b=7,7=(2 a) b=2 ab.故56=2 3+ab.又12=34=2 a4=2 a+2,从而56=(2 a+2) =12.故log1256=log1212=.解法二:log23=a,log32=.又3 b=7,log 37=b.从而log1256=.解法三:log23=a,lg3=alg2
5、.又3 b=7,lg7=blg3.lg7=ablg2.从而log1256= = =.【溯源】 (1)lg2+lg5=1在对数计算中经常用到.(2)第三小题中解法一借助指数变形来解;解法二与解法三是利用换底公式来解,显得较简明.应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可.2.2.2对数函数及其性质1.概念一般地,我们把函数y=logax(a0且a1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+).2.对数函数的性质a10a1时,图象由左向右逐渐上升,即当a1时,y=logax在(0,+)上是增函数;当0a1时,图象由左向右逐渐
6、下降,即当0a1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a1时,x1,则y=logax0;0x1,则y=logax0;当0a1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴下方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴上方,即当0a1,则y=logax0;0x0.对数函数y=logax(a0且a1)的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数,底数只能大于0,等于1来也不行,底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(1,0)点.案例1比较大小:(1)log0.27和log0.29;(2)log35和log65
7、;(3)(lgm) 1.9和(lgm) 2.1(m1);(4)log85和lg4.【探究】 (1)log0.27和log0.29可看作是函数y=log0.2x,当x=7和x=9时对应的两函数值,由y=log0.2x在(0,+)上单调递减,得log0.27log0.29.(2)考查函数y=logax底数a1的底数变化规律,函数y=log3x(x1)的图象在函数y=log6x(x1)的上方,故log 35log 65.(3)把lgm看作指数函数的底数,要比较两数的大小,关键是比较底数lgm与1的关系.若lgm1即m10,则(lgm) x在R上单调递增,故(lgm) 1.9(lgm) 2.1.若0l
8、gm1即1m(lgm) 2.1.若lgm=1即m=10,则(lgm) 1.9=(lgm) 2.1.(4)因为底数8、10均大于1,且108,所以log85lg5lg4,即log 85lg4.【溯源】 两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:(1)直接法:由函数的单调性直接作答;(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;(5)媒介法:选取适当的“媒介
9、”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.案例2已知函数y=lg(x2+1-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.【探究】 注意到+x=,即有lg(-x)=-lg(+x),从而f(-x)=lg(+x)=-lg(-x)=-f(x),可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,所以我们只需研究(0,+)上的单调性.由题意-x0,解得xR,即定义域为R.又f(-x)=lg-(-x)=lg(+x)=lg=lg(-x) -1=-lg(-x)=-f(x).y=lg(-x)是奇函数.任取x 1、x 2(0,+)且x 1x 2,则+x 1,即有-x 1-x20,lg(
10、-x 1)lg(-x 2),即f(x 1)f(x 2)成立.f(x)在(0,+)上为减函数.又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在(-,0)上也为减函数.【溯源】 研究函数的性质一定得先考虑定义域,在研究函数单调性时,注意奇偶性对函数单调性的影响,即偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.案例3作出下列函数的图象:(1)y=|log4x|-1;(2)y=log|x+1|.【探究】 (1)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|lo
11、g4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.(2)y=log|x+1|的图象可以看成由y=logx的图象经过变换而得到:将函数y=logx的图象作出,然后关于y轴对称,即得到函数y=log|x|的图象,再将所得图象向左平移一个单位,就得到所求的函数y=log|x+1|的图象.函数(1)的图象作法如图所示.函数(2)的图象作法如图所示.【溯源】 画函数图象是研究函数变化规律的重要手段,画函数图象通常有两种方法:列表法和变换法.变换法有如下几种:平移变换:y=f(x+a),将y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)或向下(a0
12、),将y=f(x)图象上各点的横坐标压缩(a1)或伸长(0a0),将y=f(x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标压缩(0a1)到原来的a倍而得到.案例4已知f(x)=2+log3x, x1,9,求y=f(x)2+f(x 2)的最大值,及y取最大值时,x的值.【探究】 要求函数y=f(x)2+f(x 2)的最大值,一是要求其表达式;二是要求出它的定义域,然后求值域.【解】 f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x 2)=(2+log3x) 2+2+log3x 2=(2+log3x) 2+2+2log3x=log32x+6log3x+6=(log3x+3) 2-3.函数f(x)的定义域为1,9,要使函数y=f(x)2+f(x 2)有意义,就需1x29,1x9.1x3.0log3x1.6y=(log3x+3) 2-313.当x=3时,函数y=f(x)2+f(x 2)取最大值13.【溯源】 在处理有关对数的复合函数的问题时,定义域的求解往往是解题的关键所在,同时要注意对数单调性的应用.案例5某工厂2006年生产一种产品2万件,计划从2007年开始每年的产量比上一年增长20%.则这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件时是年.(已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1)()A.2015B.2016C.2017D.2018【探究】 此题是平均增长率问题的变式考题
