立体几何总复习总结课件

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1、第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图 第九单元 立体几何 基础梳理 1 多面体 1 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行 由这些面所围成的多面体叫做棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由 这些面所围成的多面体叫做棱锥 3 用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥 底面和截面之间的这部分 多面体叫做棱台 2 旋转 1 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余三边旋转形成的面所围 成的旋转体叫做圆柱 2 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转 形成的面所围成的旋转体体叫做圆锥 3 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 将半

2、圆旋转一周形成的旋转 体叫做球体 简称球 3 三视图和直观图 1 三视图是从一个几何体的正前方 正左方 正上方三个不同的 方向看这个几何体 描绘出的图形 分别称为正视图 侧视图 俯视 图 2 三视图的排列顺序 先画正视图 俯视图放在正视图的下方 侧视 图放在正视图的右方 3 三视图的三大原则 长对正 高平齐 宽相等 4 水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 在已知图形中 取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成对应的x 轴和y 轴 两轴相交于O 且使 x O y 45 或135 用它们确定的平面表示水平面 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中 分别画成平行于x

3、轴或y 轴的线段 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y 轴的线段 在直观图中长度变为原来的一半 典例分析 题型一 空间几何体的结构特征 例1 根据下列对几何体结构特征的描述 说出几何体的名称 1 由八个面围成 其中两个面是互相平行且全等的正六边形 其他各面 都是矩形 2 一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180 形成的封 闭曲面所围成的图形 3 一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成 的几何体 分析 要判断几何体的类型 从各类几何体的结构特征入手 以柱 锥 台的定义为依据 把复杂的几何体分割成几个简单的几何体 解 1 如图1所示 该几何

4、体满足有两个面平行 其余六个面都是矩 形 可使每相邻两个面的公共边都互相平行 故该几何体是正六棱柱 2 如图2所示 等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形 每个直角梯形旋转180 形成半个圆台 故该几何体为圆台 3 如图3所示 由梯形ABCD的顶点A引AO CD于O点 将直角梯形分为 一个直角三角形AOD和矩形AOCB 绕CD旋转一周形成一个组合体 该组 合体由一个圆锥和一个圆柱组成 图1 图2 图3 学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题 要对原平面图形作 适当的分割 再根据圆柱 圆锥 圆台的结构特征进行判断 举一反三 1 观察如图几何体 分析它们是由哪些基本几何体组成的 并

5、说出主 要结构特征 解析 1 是一个四棱柱和一个四棱锥组成的 它有9个面 9个顶 点 16条棱 2 是由一个四棱台 一个四棱柱和一个球组成的 其 主要结构特征就是相应四棱台 四棱柱和球的结构特征 题型二 柱 锥 台中的计算问题 例2 正四棱台的高是17 cm 两底面边长分别是4 cm和16 cm 求棱台的 侧棱长和斜高 分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形 然后构 造直角三角形 解决问题 解 如图所示 设棱台的两底面的中心分别是 O 和BC的中点分别 是 和E 连接 OB OE 则四边形 和 都是直角梯形 4 cm AB 16 cm 2 cm OE 8 cm 2 cm OB 8

6、 cm 19 cm 棱台的侧棱长为19 cm 斜高为 cm 学后反思 1 把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何 问题的常用方法 2 找出相关的直角梯形 构造直角三角形是解题的关键 正棱 台中许多元素都可以在直角梯形中求出 举一反三 2 2009 上海 若等腰直角三角形的直角边长为2 则以一直角边 所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是 解析 如图 等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥 V S h h 2 答案 流连染紫旳悯 看 熟悉旳风景 用生命回忆从前聆听 尔伈钢琴上的芭蕾 烛光里的愿思念幻化成海 化思念为星 纯纯的记忆微笑的 侧脸蒲公英的梦想 我在地狱仰望天堂花开 似水 破晓 前

7、身居梦海 倒流时光 往返流年 半 颗心的暖下一个转角 左拐地平线 无际 落日夕阳 一个人丶听歌c 半盏 流年如花的旋律微光倾城丅 站 恋爱黎明前的 安静 天空内抹蓝 漫步云海涧 遥望地平线尽头春日夕后那 缕艳阳 月色下肆无忌惮的浅谈 寂寞嘚街道美得 5 倾斜 定格 那瞬间 月 很美一米阳光安静的照耀 潮起潮落最后一 抹阳光阳光温暖空屋仰望丶那一缕微光紫风铃 摇曳着回忆草尖上的花泪阳光透 过窗台 温存 一曲女人花栺简哋悇烟 影子海消失后鱼死了 彩虹 指间de 嗳 时光在唱歌约好的以后 路过你的时光深渊的那支花漫步巴黎生命在聆听灬时 空转角 盛夏落幕 尔 氵曼埗 残阳 且听 风铃 聆听 你呼吸的旋

8、律 飞舞 的头发夜凉如水 紫色的彩虹等待繁华能开满天际 张望的时光夹缝的瑰丽黑 魅惑轻轻的 想念微笑恍若阳光灿烂 题型三 三视图与直观图 例3 螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体 如下图 画出它的三视图 分析 螺栓是棱柱 圆柱组合而成的 按照画三视图的三大原则 长对正 高平齐 宽相等 画出 解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的 正视图反映正 六棱柱的三个侧面和圆柱侧面 侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆 柱侧面 俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆 中心重合 它的三视图如下图 学后反思 在绘制三视图时 若相邻两物体的表面相交 表面的交线 是它们的分界线 在三视图中 分界线和可见轮廓

9、线都用实线画出 例 如上图中 表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB 侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆 举一反三 3 2008 广东 将正三棱柱截去三个角 如图1所示 A B C分别是 GHI三边的中点 得到几何体如图2 则该几何体按图2所示方向的侧 视图为 解析 由正三棱柱的性质得 侧面AED 底面EFD 则侧视图必为直 角梯形 且线段BE在梯形内部 答案 A 题型四几何体的直观图 例4 12分 用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图 分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则 1 坐标系中 x O y 45 2 横线相等 即A B AB C D CD 3 竖线是原来的 即O E

10、 OE 画法 1 如图1 取AB所在直线为x轴 AB中点O为原点 建立直角坐标系 3 画对应的坐标系x O y 使 x O y 45 5 2 以O 为中点在x 轴上取A B AB 在y 轴上取O E OE 以 E 为中点画C D x 轴 并使C D CD 10 3 连接B C D A 所得的四边形A B C D 就是水平放置的 等腰梯形ABCD的直观图 如图2 12 图1 图2 学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系 一般取图形中的某 一横线为x轴 对称轴为y轴 或取两垂直的直线为坐标轴 原点可建 在图形的某一顶点或对称中心 中点等 坐标系建得不同 但画法规 则不变 关键是画出平面图形中相

11、对应的顶点 举一反三 4 如图所示 矩形O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观 图 其中O A 6 cm O C 2 cm 则原图形是 A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四边形 解析 在直观图中 平行于x轴的边的长度不变 平行于y轴的边 的长度变为原来的 原图中 OA 6 cm OD 4 cm OC 6 cm BC AB 6 cm 原图形为菱形 答案 C 易错警示 例 画出如图1所示零件的三视图 错解 图1的零件可看做是一个半圆柱 一个柱体 一个圆柱的组合 其三视图如图2 图1 图2 错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的 交线 画图时应画出其交线 正解

12、 考点演练 10 2010 潍坊模拟 如图 已知正四棱台ABCD 的上底 面边长为1 下底面边长为2 高为1 则线段 的长是 解析 连接上底面对角线 的中点 和下底面 BD的中点O 得棱台的高 过点 作 的平 行线交BD于点E 连接CE 在 BCE中 由BC 2 BE CBE 45 利用余弦定理可得 CE 故在Rt 中易得 答案 11 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm 高为8 cm 有一个过圆 台两母线的截面 且上 下底面中心到截面与两底面交线的距离分 别为3 cm和6 cm 求截面面积 解析 如图所示截面ABCD 取AB中点F CD中点E 连接OF EF OA 则 为直角梯形 AB

13、CD为等腰梯形 EF为梯形ABCD的高 在直角梯形 中 cm 在Rt 中 cm 同理 cm 12 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍 轴截面的面积等于 392 母线与轴的夹角是45 求这个圆台的高 母线长和两底面 半径 解析 圆台的轴截面如图所示 设圆台上 下底面半径分别为x cm 3x cm 延长 交 的延长线于S 在Rt SOA中 ASO 45 则 SAO 45 SO AO 3x x 2x 又 x 7 故圆台的高 14 cm 母线长 14 cm 两底面半径分别为7 cm 21 cm 第二节 空间几何体的表面积与体积 基础梳理 1 柱体 锥体 台体的侧面积 就是各侧面面积之和 表面积是

14、各个面 的面积之和 即侧面积与底面积之和 2 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的展开图 它 的表面积就是展开图的面积 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面积及表面积 4 柱 锥 台体的体积 这是柱体 锥体 台体统一计算公式 特别地 圆柱 圆锥 圆台 还可以分别写成 5 球的体积及球的表面积 设球的半径为R 典例分析 题型一 几何体的表面积问题 例1 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm 且其侧 面积等于两底面面积之和 求棱台的高 分析 要求正棱台的高 首先要画出正棱台的高 使其包含在某 一个特征直角梯形中 转化为平面问题 由已知条件列出方程 求解所需的几何元素 解 如

15、图所示 正三棱台ABC 中 O 分别为两底面中心 D 分 别为BC和 中点 则 为棱台的斜高 设 20 AB 30 则OD 5 由 得 在直角梯形 中 棱台的高为4 cm 学后反思 1 求解有关多面体表面积的问题 关键是找到其特征几何图 形 解决旋转体的表面积问题 要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图 2 借助于平面几何知识 利用已知条件求得所需几何要素 举一反三 1 圆台侧面的母线长为2a 母线与轴的夹角为30 一个底面的半径 是另一个底面半径的2倍 求两底面的半径与两底面面积之和 解析 如图 设圆台上底面半径为r 则下底面半径为2r ASO 30 在Rt SO A 中 sin 30 SA 2

16、r 在Rt SOA中 sin 30 SA 4r SA SA AA 即4r 2r 2a r a 圆台上底面半径为a 下底面半径为2a 两底面面积之和为 题型二 几何体的体积问题 例2 已知四棱台两底面均为正方形 边长分别为4 cm 8 cm 侧 棱长为8 cm 求它的侧面积和体积 分析 由题意知 需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高 然后利用平 面图形面积公式和台体体积公式求得结论 解 如图 设四棱台的侧棱延长后交于点P 则 PBC为等腰三角形 取BC中点E 连接PE交 于点 则PE BC E为侧面等腰梯形的 高 作PO 底面ABCD交上底面于点 连接 OE 在 P 和 PBC中 为PB的中点 为PE的中点 在Rt PEB中 在Rt POE中 学后反思 1 求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的 特征直角三角形 和 特征直角梯形 它们是架起 求积 关系式中的 未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的 桥梁 2 平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题 通常是 还 台为锥 而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解 还台为锥 借助于 轴截面 将空间问题转化为平面问题 求出相关数据