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1、第7讲 数学归纳法1.理解归纳法的含义;2.能够运用数学归纳法证明数学问题;1. 数学归纳法的应用;2. 数学归纳证明数学问题是本节课的重点;3. 数学归纳法在综合题中应用是难点.数阵找规律找规律式子或图形找规律.yin=k到n=k+1的变化.yi利用数学归纳法直接证明相关问题数学归纳法数学归纳法直接证明数学归纳法在综合题中应用.yi综合题中的数学归纳法与函数导数联系的数学归纳法找规律归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法它包括不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项
2、来写数列的通项公式，这个过程用的就是不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的例1.用个不同的实数可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的矩阵，对第行，记，（），例如由1、2、3排数阵知：由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么由1，2，3，4，5形成的数阵中，（ ）A3600 B1800 C1080 D720【答案】C【解析】：由题意可知，数阵中行数，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是，所以，故应选练习1. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如则 【答案】
3、38.【解析】试题分析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数故练习2.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n（nN*）行，在这些数中非1的数字之和是_【答案】【解析】试题分析：第三行各数为，第四行各数为，依次规律第n行各数为系数和为去掉每行的1后之和为例2. 已知，,，以此类推，第5个等式为（ ）A BC D【答案】D 【解析】由题意，得第4个式子为；第5个式子为，故选D练习1. 图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第个图包含_个互不重叠的单位正方形。图1 图2 图
4、3 图4【答案】【解析】设第个图包含个互不重叠的单位正方形图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，练习2.平面内有条直线(),其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条不过同一点,若用表示这条直线交点的个数,则当时 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】当时，3条直线中有两条直线平行，第3条直线与两条平行线分别有1个交点，共2个交点；当时，4条直线中有两条直线平行，第4条直线与前3条直线分别有1个交点，共增加3个交点，所以共有交点；当时，5条直线中有两条直线平行，第5条直线与前4条直线分别有1个交点，共增加4个交点，所以共有交点；所以，以此类推当时故选D归纳法解
5、决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了在观察与归纳时，的取值不能太少，否则将得出错误的结论.利用数学归纳法直接证明相关问题证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(1) 证明当取第一个值时结论正确；（归纳奠基）(2) 假设当时结论正确, 证明当时结论也正确（归纳递推）完成这两个步骤后,
6、就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确这种证明方法叫做数学归纳法例3. 用数学归纳法证明时，由到，不等式左边的变化是（）A. 增加项 B. 增加和两项C. 增加和两项同时减少项 D. 以上结论都不对【答案】C【解析】时，左边， 时，左边，由“”变成“”时， 故选C.练习1. 用数学归纳证明“凸边形对角线的条数”时，第一步应验证 （ ）A. 成立 B. 成立 C. 成立 D. 成立【答案】C【解析】因为多边形至少有3条边，故第一步只需验证结论成立即可.本题选择C选项.练习2.利用数学归纳法证明不等式（， ）的过程中，由变到时，左边增加了（ ）A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项【答案】D【
7、解析】时左面为， 时左面为，所以增加的项数为例4. 已知数列的前项和为，若（）求（）猜想的表达式，并用数学归纳法给出证明【答案】（）见解析；（）见解析.【解析】（1） （）猜想，证明如下：（1）当时，由(1)得结论成立； （2）假设当时，结论成立，即那么，当时，左边。故时，结论也成立。由（1）（2）知， 成立练习1. 在各项为正的数列中，数列的前项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数字归纳法证明【答案】（1）；（2）（），证明见解析【解析】（1）易得，（2）猜想，证明：当时， ，命题成立假设时， 成立，则时， ，所以， ，即时，命题成立由知， 时， 练习2. 用数学归纳法证
8、明：求证： .【答案】证明见解析.【解析】当时，左边，右边，等式成立设当时，等式也成立，即： ，则当时，得证时，成立，故等式成立用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确初始值并验证真假（必不可少）“假设时命题正确”并写出命题形式分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设综合题中的数学归纳法在综合题中，如果存在递推关系的自然数问题，一般使用数学归纳法证明，由归纳法的性质，由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题
9、的关键，此类问题在的证明过程中，要注意式子的变形及假设的应用，这是数学归纳证明中的一个易错点.例5. 已知数列满足， （1）求， ， ， ；（2）归纳猜想出通项公式，并且用数学归纳法证明；【答案】（1）， ， ， ；（2），证明略.【解析】（1）， ， ， ；（2）归纳猜想出通项公式，当时， ，成立假设时成立，即，则当时，由得： 所以时也成立；综合，对等式都成立，从而得证.练习1. 用数学归纳法证明对一切【答案】详见解析【解析】(1)当时,左边=1,右边=,不等式成立;(2)假设当时，不等式成立，即则当时，要证成立只要证即可因为所以即成立，所以当时不等式成立.由（1）（2）知，不等式对一切都成
10、立.例6.已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，设函数，数列满足， ，求证： ， .【答案】（1），无最大值.（2）（3）见解析【解析】（1）， ，令，得，则随变化如下：，则是增函数，是减函数.所以，无最大值.（2）设，则，当时，且， ，函数在上是增加的， 成立；当时，令，得，当， ，函数在上是减小的，而，所以，当时， ，所以不恒成立，综上，对任意都有恒成立时， .（3），又，当时， ，在上是增加的，所以，当时，而，成立.，假设时， 成立，那么当时， ，而，成立.综合， 得： ， 成立.练习1. 已知满足， （1）求，并猜想的表达式；（
11、2）用数学归纳法证明对的猜想.【答案】（1）,（ ）（2）见解析【解析】（1）猜想： （ ）（2）下面用数学归纳法证明（ ）当时，显然成立；假设当 ）时，猜想成立，即，则当时， 即对时，猜想也成立；结合可知，猜想对一切 都成立.数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题。（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1验证（为命题允许的最小正整数）时，命题成立2假设时命题成立，证明时命题成立，由1和2对任意的命题成立。
