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1、演练方阵第5讲 合情推理和演绎推理归纳推理的应用类型一：数的归纳考点说明：主要考察数字归纳和式子归纳.【易】1.数列5，9，17，33，中的等于( ).A.47 B.65 C.63 D.128【答案】B【解析】由，得.【易】2.下面是电影达芬奇密码中的一个片段：女主人欲输入由十个数字组成的密码，但当她果断地依次输入了前八个数字11235813后，欲输入最后两个数字时却犹豫了，也许是忘记了最后两个数字，也许，请你根据上述相关数据信息推测最后两个数字最有可能是( ).A.21 B.20 C.13 D.31【答案】A【解析】通过分析前八个数字，发现1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+
2、8=13，又8+13=21，故最后两个数字最有可能是21.【易】3.观察下列等式：依此规律，第个等式为_.【答案】【解析】注意各个等式右边数字的变形，依此规律，可得第个等式为.【中】4.观察下列各式：.若，则( ).A.43 B.57 C.73 D.91【答案】C【解析】由原式变形，得：所以，经归纳：.【中】5.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等，显然2位回文数有9个：11，22，33，99；3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999；则：(1)4位回文数有_个；(2)位回文数有_个.【答案】(1)90； (2)；【解
3、析】(1)3位回文数与4位回文数的个数相同，例如101变成1001；(2)4位回文数变5位回文数是1个变10个，例如1001变10001，10101，10201，10901，故5位回文数有900个，6位回文数与5位回文数个数相同，7位回文数有9000个.归纳知，位回文数有个.【中】6.已知：，成立，由此得到一个结论，此结论是什么？并证明你的结论.【答案】结论为：若且都不为，则.【解析】由，可猜想结论为：若且都不为，则.证明：当时，等式，显然成立.当时，由，得，等式，又，则原式=1，显然成立.综上所述，等式成立.【中】7.已知的不同整数解有4个，的不同整数解有8个，的不同整数解有12个，则的不同
4、整数解的个数为（ ）.A.64 B.60 C.56 D.52【答案】B【解析】观察可得整数解的个数4，8，12，构成一个首项为4，公差为4的等差数列，设其数列为，则通项公式为，故所求的第15项为60，则选B.【难】8.设，记，则( ).A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，所以是周期为4的函数.则，所以选D.类型二：形的归纳考点说明：主要考察图形数目归纳和图形变化规律归纳.【易】1.有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色，两种彩旗排成一行：那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( ).A.111 B.89 C.133 D.67【答案】D【解析】观察彩旗排列的规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期
5、为9，每9个旗子中有3个黄旗，所以2009=222，则200个旗子中黄旗的数量为223+1=67.【易】2.把正整数按如图所示的规律排列，则2012的箭头方向为( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】通过观察，图中1、5、9的位置相同，则图中排序每四个数字一个循环，20124=503，所以2012个数字有503个周期，最后一个数字2012恰在一个周期的最后位置，即2012与4的位置相同，故选B.【中】3.某次数学考试的第一大题由10道四选一的选择题构成，四个选项分别为A、B、C、D，要求考生从A，B，C，D中选出其中一项作为答案，每题选择正确得5分，选择错误不得分.以下是甲、乙、丙、丁
6、四位考生的答案及甲、乙、丙三位考生的得分结果：题1题2题3题4题5题6题7题8题9题10得分甲CBDDACDCAD35乙CBCDBCABDC35丙CADDADABAC40丁CADDBCABAC?据此可以推算考生丁的得分是_.【答案】40【解析】因为7+7+8=22，所以甲、乙、丙三位考生10道题中，至少有相同的2道题答案正确，则题1答案为C，题4答案为D.又因为7+7=14，所以甲、乙两位考生10道题中，至少有相同的4道题答案正确，则题2答案是B，题6答案是C.又因为7+8=15，所以乙、丙两位考生10道题中，至少有相同的5道题答案正确，则题7答案为A，题8答案为B，题10答案为C.所以，甲考
7、生错题为7、8、10，乙考生错题为3、5、9，丙考生错题为2、6，丁考生错题为2、5，所以丁考生得分是40分.【中】4.根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第（n）个图形有多少个圆圈.【答案】【解析】解法一：图(1)中的圆圈数为，图(2)中的圆圈数为，图(3)中的圆圈数为，图(4)中的圆圈数为，图(5)中的圆圈数为，观察规律，猜测第(n)个图形中的圆圈数为.解法二：第(2)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，每个方向有一个圆圈，共有2(2-1)+1个圆圈；第(3)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3(3-1)+1个圆圈；第(4)
8、个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4(4-1)+1个圆圈；第(5)个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5(5-1)+1个圆圈；由上述变化规律，猜测第(n)个图形共有个圆圈.【中】5.如图(甲)是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记的长度构成数列，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】根据勾股定理，可得：，故可归纳出.【难】6.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”需要火柴棒的根数为( ).A
9、. B. C. D.【答案】C【解析】通过观察，后面一个“金鱼”都比它前面一个“金鱼”多6根火柴棒，故火柴棒数构成以8为首项，6为公差的等差数列，可归纳得到第个“金鱼”需要火柴棒的根数为.类比推理的应用类型一：类比推理在代数中的应用考点说明：主要考察类比推理在函数、数列、新定义、新运算中的应用，一定要仔细观察，发现规律，有时候还需要用已学知识证明.【易】1.若记“*”表示两个实数与的算术平均运算，即，那么等式两边均含有运算符号“*”和“”.类比上述等式，对于任意3个实数都能成立的一个等式可以是_.【答案】答案不唯一.【解析】本题具有探索性和开放性，需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一.一定要
10、把握住，还要注意到题目的要求：不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“”.【易】2.已知，观察下列各式：，类比得：，则_.【答案】【解析】注意数字1，4，27，与的指数、项数的关系，【中】3.已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为_.【答案】4836【解析】经类比，可得：，所以2000的所有正约数之和为：.【中】4.已知：，左右两边分别相加，得，所以.类比上述推理方法写出求的表达式的过程.【答案】【解析】记，已知：，将左右两边分别相加，得：，由此可得.【中】5.已知数列为等差数列，若，则.类比
11、等差数列的上述结论，对于等比数列，若，则可以得到_.【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，所以.【中】6.若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列.类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则_时，数列也是等比数列.【答案】【解析】设等比数列的首项为，公比为，则：，所以，为常数.故数列也是等比数列.【难】7.设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得_.【答案】【解析】等差数列前n项和公式是用“倒序相加”的方法得到的，经类比，得到：原式=.又，则，所以，原式=.类型二：类比推理在几何中的应用考点说明：主要考察类比推理在平面几何、立体几何和解析几何中的应用，一定要注意对象
12、与另一类对象类比的对应要正确.【易】1.请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【答案】三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.【解析】由前两组类比可得到如下信息：平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；三角形面积公式中的“二分之一”类比三棱锥体积公式中的“三分之一”.【易】2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，设双曲线方程为，则F(，0)，B(0，)，A(，0)，(，)，(，).，即，解得：或(舍去).故应选A.【中】3.设ABC的三边长分别是，ABC的面积是S，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体P-ABC的体积为V，则( ).A.
