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1、第 3 讲基本初等函数 第一种方式 第一种方式 多项式函数和指数函数是高中出现频率很高的函数 我们经常进行这些函数的有关计算 却很少考虑这些函数在生活中的实际应用 本文尝试利用这些基本初等函数建立数学模型来 解决一个比较有兴趣的实际问题 衡量一个数学模型的优劣全在于它的应用效果 而不在乎 它是不是采用了多么高深的数学知识方法 本文建立了五种不同数学模型 比较了不同模型 估计鱼的体重与实际重量情况的误差 并进一步推广 用类比法建立某些动物身长和体重关 系的模型 相信大家都看过鱼 鱼的形状不规则 我们能不能考虑用鱼身体的某些长度参数来估计 鱼的体重呢 众所周知鱼的身长越长 鱼的重量也会越重 现在我
2、们建立适当的模型研究鱼 的重量与鱼的体长参数之间的数学关系 本文将从分析如何根据鱼的身长和胸围长度来估计 鱼的体重的方法出发 进而研究动物的身长和体重的关系 我们测量到 11 条的数据 如下表所示 有了数据之后 我们想建立数学模型研究这个问题 先做如下假设 只有一种鱼 同 一种鱼整体形状是相似的 密度是均匀的 模型的建立 这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示 y 鱼的体重 x 鱼的身长 t 鱼的胸围 即鱼的最大周长 这里取鱼的胸围 身长 cm36 730 144 136 845 135 931 832 1 胸围 cm24 721 227 824 631 722 921 720 9 重量 g
3、764 0480 01159 0739 01389 0652 0481 9467 8 a b c d 前四种函数模型中的系数 K 第五种数学模型中的系数 由高等数学数据拟合的知识可知 对单变量多项式拟合一般不超过 3 次 故此处考虑如下五 中模型 假设鱼的体重只与体长 x 有关 我们可以采用多项式和指数函数拟合一下四种数学模型 1 建立的关于体长 x 的单变量模型 一次函数模型 yaxb 二次函数模型 即 2 yaxbxc 三次函数模型 即 32 yaxbxcxd 指数型函数模型 即 bx yae 通常有一些鱼是很胖的 生活的直觉告诉我们鱼的重量也应该与鱼的横截面有关 所以 人们就不一定认可上
4、述模型 因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待 假设鱼的模截面是相似的 而 横截面积与鱼的胸围的平方成正比 于是我们可以得到如下模型 2 二元函数模型为 即 2 ykt x k为比例系数 模型拟合求解 用 casio 图形计算器的统计功能拟合前四种模型 输入数据得到如下表格 然后进行回归操作可以得到如下图像 借助 casio 图形计算器计算相关平均值为 y 790 7580 t 24 94545 x 37 18545 将上述数据代入 2 ykt x 计算得 k 0 03217336 为了方便集中模型的对比 我们分别是用上面五种回归方程 根据每条鱼的长度和胸围 计算出每条鱼体重的估计值 并求出残差的绝对值的
5、和 可以得到如下表格 实际重量 764 0 480 0 1159 0 739 0 1389 0 652 0 481 9 467 8 652 0 751 3 1162 3 平均误差 误差 模型一799 2 419 4 1225 0 804 9 1282 5 753 1 517 2 534 5 753 1 804 9 1207 7 误差35 260 666 0 65 9 106 5101 135 366 7 101 153 745 467 08 478 模型二776 5 517 1 1283 6 781 9 1369 7 735 4 566 5 576 5 735 4 781 9 1258 6 误
6、差12 537 1 124 6 42 919 3 83 484 6 108 783 430 696 365 88 317 模型三747 8 475 4 1153 9 746 1 1385 0 761 1 674 1 696 3 761 1 746 1 1096 4 误差16 24 65 17 14 0109 1 192 2 228 5 109 05 265 967 98 588 模型四747 4 479 2 1230 2 752 5 1315 9 708 2 537 3 548 3 708 2 752 5 1205 6 误差16 60 871 2 13 573 1 56 255 480 556
7、 21 243 342 55 379 模型五720 4 435 2 1096 5 716 5 1458 1 605 7 481 8 451 1 676 4 740 0 1243 0 误差43 644 862 5 22 569 1 46 30 116 724 411 380 738 44 851 结论 由上表格可以看出 五种模型的平均误差分别为 8 478 8 317 8 588 5 379 4 851 结果表明 第五种数据估计模型与实际情况的误情况的误差控制在 5 以下 估计体重与真是体重最接近 与实际最相符 前几种数据估计模型多项式函数拟合和指数函 数拟合 只是简单的认为重量 y 与身长 x
8、 相关 提出的鱼的整体形状是相似的 密度也大体 上相同的假设与实际情况相差太远 不适合实际应用 第五种数据估计模型中认为鱼的重量 不但与鱼的长度相关 还与鱼的横截面相关 这种建模方法更符合实际情况 模型的计算结 果也表明它与实际情况的误差更小 现实生活中在要求不是很严格的情况下 用鱼的体长参 数估计出鱼的重量还是可以行的 我们可选用 2 ykt x 来建立数学模型 第二种方式 指数函数是基本初等函数之一 它不仅是一种重要的初等函数 同时 它在疾病控制与 统计 工业生产 计量经济学 人口控制论 数学生态学 数学地质学 物理学等领域有着 广泛的应用 一 地球年龄的测算 公元 1896 年 法国物理
9、学家贝克勒尔发现 铀的化合物能放射出一种肉眼看不见的射线 这种射线可以使它在黑纸里的照相底片感光 这种现象引起了女科学家玛丽 居里的注意 居里夫人想 该不是只有铀才能发出射线吧 经她悉心研究 终于又发现了一些放射性更强的 元素 1903 年 英国物理学家卢瑟福通过实验证实 放射生物质在放出射线的同时 本身有 一部分 蜕变 为其他物质 这种蜕变的规律是 一种物质放出射线后 这种物质的量将减 少 减少的速度开始较快 后来较慢 物质所剩的量与时间成指数函数关系 这种函数我们 还没有学过 但可以从函数的图象中来认识它的变化规律 下图为 由图象我们可以发现 镭的质量由 m0缩减到 1 2m0 约需 16
10、20 年 由 1 2m0缩减到 1 4m0 约需 3240 1620 1620 年 由 1 4m0缩减到 1 8m0约需 4860 3240 1620 年 即镭的质 量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量 1620 年 一般把 1620 称为镭的半衰期 经过科学家不懈努力 人们终于弄清了放射性蜕变的量的规律 m m0e kt 下面我们计算一下 究竟需要多长时间 才能使放射性物质蜕变为原来的一半 为此 令 m 1 2 m0 则 1 2 e kt 从而 ln2 t k 这是一个常量 它只与放射性物质本身有关 称为该放射性 物质的半衰期 下表列的是一些重要放射性物质的半衰期 元素同位素符号半衰期
11、钍Th2321 39 1010年 铀 U2384 56 109年 铀 U2342 48 105年 镭Ra2261620 年 钋 Po210138 天 钋 Po2140 16 秒 钋 Po2161 5 10 4秒 铀是最常见的一种放射性物质 由上表得知 它的半衰期为 45 亿 6000 万年 也就是说 过 45 亿 6000 万年之后 铀的质量剩下原来的一半 由于铀蜕变后 最后变成铅 因此 我们只要根 据岩石中现在含多少铀和多少铅 便可以算出岩石的年龄 科学家们正是利用上述的办法 测 得地球上最古老岩石的年龄为 30 亿年 当然 地球年龄要比这更大一些 估计有 45 46 亿年 二 特拉波科罗
12、号事件 你记得儒勒 凡尔纳书里的竞技大力士马蒂夫吗 头大身高 胸膛像铁匠的风囊 腿 像粗壮的木柱 胳膊像起重机 拳头像铁锤 这位大力士的功劳在 马蒂斯 桑多尔夫 这部小说里叙述得很多 可是使读者印象最深的 大概是他用手拉住一条正在下水的船 特 拉波科罗 号这件事 关于这件事 小说的作者是这样告诉我们的 已经移去了两旁撑住船身的支持物 船准备下水了 只要把缆索解开 船就会滑下去 已经 有五六个木工在船的龙骨底下忙着 观众满怀好奇心注视着这件工作 这时候却有一艘快艇绕 过岸边凸出的地方 出现在人们的眼前 原来这艘快艇要进港口 必须经过 特拉波科罗 号准 备下水的船坞前面 所以一听见快艇发出信号 大
13、船上的人为了避免发生意外 就停止了解缆 下水的操作 让快艇先过去 假使这两条船 一条横着 另一条用极高的速度冲过去 快艇一定会 被撞沉的 工人们都停止了工作 所有的眼睛全都注视着这只华丽的船 船上的白色篷帆在斜阳下象 镀了金一样 快艇很快就出现在船坞的正前面 船坞上成千的人都出神地看着它 突然听到一 声惊呼 特拉波科罗 号正当快艇的右舷对着它的时候 开始摇摆着滑下去了 两条船就要相 撞了 已经没有时间 没有方法能够防止这场惨祸了 特拉波科罗 号很快地斜着向下面滑 去 船头上卷起了因摩擦而起的白雾 船尾已经没入了水 突然出现了一个人 马蒂夫 他抓住 特拉波科罗 号前部的缆索 用力地拉 几乎把身子
14、 弯得接近了地面 不到一分钟 他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上 他冒着被摔死的危险 用 超人的气力 用手拉住缆索大约有 10 秒钟 最后 缆索断了 可是这 10 秒钟时间已经很足够 特拉波科罗 号进水以后 只轻轻擦了一下快艇 就向前驶去 快艇脱险了 至于这个使这件发生得很快的意外事件没有造成惨祸的人 当时甚至 别人来不及帮助他 就是马蒂夫 假使小说的作者听到说 这样的功劳并不需要一个像马蒂夫那样的 力大如虎 的巨人 而是每一个机智的人都能干的话 那他一定会非常惊奇 力学告诉我们 缠在桩上的绳索 在滑动的时候 摩擦力可以达到极大的程度 绳索绕 的圈数越多 摩擦力也就越大 摩擦力增长的规律是 如果
15、因数按照算术级数加多 摩擦力 就按照几何级数增长 所以就是一个小孩子 只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈 然后抓住绳头 他的力量就能平衡一个极大的重物 在河边的轮船码头上 常常有一些少年 就用这个方法使载着几百个乘客的轮船靠码头 原来在这里帮助他们的 并不是他们异常的 臂力 而是绳和桩子之间的摩擦力 公元 1748 年 瑞士数学家欧拉在他的传世之作 无穷小分析引论 中研究了滚轮摩擦的 问题 欧拉发现 T T0e ka 其中 k 为摩擦系数 负号是因为问题中张力的值是减少的 这就是著 名的欧拉滚轮摩擦公式 下面我们就用这一公式分析一下那位力挽狂澜的 大力士 所用的 力气是多少 假定 特拉波科
16、罗 号船体重 50 吨 船台坡度为 1 10 那么船的下滑力约为 5 吨 即 5000kg 再假设马蒂夫来得及把缆索在铁桩上绕了 3 圈 即 a 6 而绳索与铁桩之间的摩擦系数为 k 0 33 将上述数值代入欧拉公式 可得马蒂夫拉住绳子另一头所需要的气力为 T 5000 0 33 6 e 0 043 kg 马蒂夫实际上所用的力气不足 10 kg 这是连一个少年都能做到的 三 玫瑰花悬案 拿破仑是一位与数学有缘的人 几何学上的一个定理是他发现并证明的 这条定理是 若在任意三角形的各边向外作等边三角形 则它们的外接圆圆心也构成一个等边三角形 然 而 这位显赫的将军 却在无意中陷进了指数效应的旋涡 公元 1797 年 当拿破仑参观国 立卢森堡小学的时候 赠上了一束价值三个金路易 一个金路易相当于 20 个法郎 的玫瑰 花 并不假思索地许诺说 只要法兰西共和国存在一天 我将每年送一束价值相等的玫瑰 花 以此作为两国友谊的象征 此后 由于连年的征战 拿破仑忘却了这一诺言 公元 1894 年 相隔 97 年后 卢森堡王国郑重向法兰西共和国提出了 玫瑰花悬案 要求法国政府在拿破仑的声誉和巨额的债款中
