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1、第20讲 推理与证明1.了解合情推理的含义和演绎推理的基本模式，并能运用他们进行简单的推理；2.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解间接证明的一种基本方法反证法；3.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。1.能利用归纳和类比等进行简单的推理2.能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单数学命题3.能够进行简单的逻辑推理 合情推理和演绎推理推理：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论一、合情推理1.定义：根据已有的事实，经过观察、分
2、析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理。2.包含：归纳推理和类比推理两类。二、演绎推理1.定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。2.模式：三段论：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情况；（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。例1.（2017海淀区一模）如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”则下面结论中正确的是（）车站的位置设在C点好于B点；车
3、站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；车站位置的设置与各段小公路的长度无关ABCD【答案】C【解析】因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关。练习1.（2017朝阳区一模）如图，A，B，C三个开关控制着1，2，3，4号四盏灯若开关A控制着2，3，4号灯（即按一下开关A，2，3，4号灯亮，再按一
4、下开关A，2，3，4号灯熄灭），同样，开关B控制着1，3，4号灯，开关C控制着1，2，4号灯开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是（）A只需要按开关A，C可以将四盏灯全部熄灭B只需要按开关B，C可以将四盏灯全部熄灭C按开关A，B，C可以将四盏灯全部熄灭D按开关A，B，C无法将四盏灯全部熄灭【答案】D【解析】由题意，按开关A，2，3，4熄灭，1亮，按开关B，1，2熄灭，3，4亮，按开关C，则2，3，4熄灭，1亮。练习2.（2017东城区二模）据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，an，和b1，b2，b3，bn，令M=m|ambm，m=1，2，n，若M中元素个数大于34
5、n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：AB，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（）A若AB，BC，则ACB若AB，BC同时不成立，则AC不成立CAB，BA可同时不成立DAB，BA可同时成立【答案】C【解析】若ai=bi，i=1，2，n，则AB，BA同时不成立.归纳推理的一般步骤：1、通过观察个别对象发现某些相同性质；2、从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）。例2.（2017春西城区校级期中）设a1，a2，a均为正数，已知两个数的均值定理为：a1+a22a1a2三个数的均值定理为：a1+a2+a333a1a2a3据此写出n个数均值定理： 【答案】a1+a2+a3
6、+annna1a2a3an【解析】根据两个正数的均值定理为：a1+a22a1a2；三个正数的均值定理为：a1+a2+a333a1a2a3；得出n个正数的均值定理为：a1+a2+a3+annna1a2a3an故答案为：a1+a2+a3+annna1a2a3an练习1.（2016春西城区期末）在解析几何里，圆心在点（x0，y0），半径是r（r0）的圆的标准方程是（xx0）2+（yy0）2=r2类比圆的标准方程，研究对称轴平行于坐标轴的椭圆的标准方程，可以得出的正确结论是：“设椭圆的中心在点（x0，y0），焦点在直线y=y0上，长半轴长为a，短半轴长为b（ab0），其标准方程为 【答案】(x-x0)
7、2a2+(y-y0)2b2=1【解析】在由圆的性质类比圆的性质时，一般地，由圆的标准方程，类比推理椭圆的标准方程；由圆的几何性质，故由：“圆心在点（x0，y0），半径是r（r0）的圆的标准方程是（xx0）2+（yy0）2=r2”，类比到椭圆可得的结论是：设椭圆的中心在点（x0，y0），焦点在直线y=y0上，长半轴长为a，短半轴长为b（ab0），其标准方程为 (x-x0)2a2+(y-y0)2b2=1练习2.（2014海淀区校级模拟）下面给出了关于复数的三种类比推理：复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2 =a2 类比复数z的性质|z|2=z2由向量加法的几何
8、意义可以类比得到复数加法的几何意义其中类比错误的是（）ABCD【答案】C【解析】对于复数的加减法运算法则判断出对；对于向量a的性质|a|2 =a2，但|z|2是实数，但z2不一定是实数，如z=i，就不成立，故错；对于复数加法的几何意义判断出对。类比推理的一般步骤：1、找出两类对象之间的相似性及一致性；2、用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）例3.（2016北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（
9、）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球共有4种情况：红+红，则乙盒中红球数加1个；黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红
10、球等于丙中的黑球练习1.（2016海淀区二模）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 【答案】甲丁乙丙【解析】因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙.在演绎推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的。若大前提不
11、明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提。直接证明与间接证明一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一些列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止思维过程由因导果（顺推证法）执果索因框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示索要证明的结论文字语言因为，所以，或由得要证（欲证），只需证，即证二、间接证明反证法1.定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
12、明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2.证明步骤：（1）反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；（2）归谬把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；（3）存真由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立。3.反设命题时常用的否定词：正面词语否定正面词语否定正面词语否定等于不等于不是是任意的某些大于不大于（小于或等于）都是不都是（至少有一个不是）所有的某个小于不小于（大于或等于）至多有一个至少有两个且或全为不全为至少有一个一个也没有或且例5.（2016石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即n2）；如果n是
13、奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A4B6C32D128【答案】B【解析】如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16，变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5
14、，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128共6个。例6.（2011春东城区期末）已知sin，sinx，cos成等差数列，sin，siny，cos成等比数列证明：2cos2x=cos2y【答案】见解析【解析】sin与cos的等差中项是sinx，等比中项是siny，sin+cos=2sinx，sincos=sin2y，22，可得 （sin+cos）22sincos=4sin2x2sin2y，即4sin2x2sin2y=141-cos2x2-21-cos2y2=1，即22cos2x（1cos2y）=1故证得2cos2x=cos2y练习1.（2014海淀区校级模拟
