《知名机构高中讲义 [20171201][高三二轮复习 第10讲 空间向量]讲义教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知名机构高中讲义 [20171201][高三二轮复习 第10讲 空间向量]讲义教师版.docx（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第10讲 空间向量本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握空间向量及其运算空间向量的概念A空间向量的基本定理及其意义B空间向量的加减法C空间向量的数乘运算C共线向量与共面向量B空间向量的数量积运算C空间向量运算的坐标表示C基本初等函数及其图像直线的方向向量与平面的法向量C用向量法证明平行C用向量法证明垂直C用向量法求空间中异面直线的成角C用向量法求空间中直线与平面的成角C用向量法求空间中二面角C用向量法求空间中点到面的距离B1.利用向量法证明空间中直线与平面的位置关系是重点.2.利用向量法求解空间中的成角问题（异面直线成角、线面成角、二面角）是重点也是难点.3.利用向量法求解空间中的距离问题是重
2、点也是难点.利用向量方法判定空间中的平行与垂直一、利用向量方法判定空间中的平行空间中的平行关系主要指：线线平行、线面平行、面面平行.1. 线线平行设直线，的方向向量分别是和，则要证明，只需证明，即.2.线面平行（1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则要证明，只需要证明，即.（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.（3）根据共面向量的定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必平行，因此要证一条直
3、线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.3.面面平行 （1）由面面平行的判定定理知，要证明面面平行，只要转换为相应的线面平行、线线平行即可. （2）若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明.2、 利用向量方法判定空间中的垂直空间中的垂直关系主要指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.1. 线线垂直设直线，的方向向量分别是和，则要证明，只需证明，即.2. 线面垂直（1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则要证明，只需要证明.（2）根据线面垂直的判定定理转换为直线与平面内的两条相交直线垂直.3.面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转换为证相应的线面垂直，线
4、线垂直.（2）证明两个平面的法向量互相垂直.例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点（1）用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；（2）用向量法证明MN面A1BD【答案】（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），=（2，0，2），=（2，2，0），取=（1，1，1），同理平面B1CD1的法向量为=（1，1，1），平面A1BD平面B1CD1；（2） M、N分别为AB、B1C的中点，=（1，1，1），M
5、N面A1BD【解析】（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，求出平面A1BD、平面B1CD1的法向量，证明法向量平行，即可证明结论；（2）求出=（1，1，1），可得，即可证明结论练习1如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若=，用向量法证明：直线MN平面PAB【答案】建立如图所示的空间坐标系，设C（a，0，0），A（0，b，0），P（m，n，p），则D（a，b，0），=（m，n，p），=（0，b，0），=（a，b，0），=（ma，nb，p），=（0，b，0），=，=，设=，则=（ma，nb，p），=（a，b，0）=+=（m，2bnb，p），=+（21）BP平
6、面PAB，BA平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB【解析】建立空间坐标系，设A，C，P三点坐标，用此三点的坐标表示出，然后观察能否用，表示出即可判断线面是否平行练习2如图，点D，E分别是三棱柱ABCA1B1C1的棱AB，B1C1的中点，记=，=，=（1）用向量，表示向量；（2）已知向量是平面ACC1A1的一个法向量，利用与的关系证DE面ACC1A1【答案】（1）如图，取BC中点F，连接DF，EF，则=；（2）是平面ACC1A1的一个法向量；,；又DE平面ACC1A1；DE平面ACC1A1【解析】（1）可取BC的中点F，并连接DF，EF，从而可以得到,，这样即可得出；（2）根据法向量的概念
7、，可以得到,，从而得到，这样即可求出，从而有，这便得出DE平面ACC1A1向量法证明空间中的平行与垂直关系是高考考查核心，解决此类题型的首要条件是掌握几何法证明空间中直线与平面的位置关系，再此基础上理解并掌握向量法的原理，并会求解直线的方向向量与平面的法向量利用向量方法求空间中的夹角1. 求异面直线所成角方法：先求出两异面直线的方向向量，分别设为，异面直线所成的角设为，则，注意的范围是.2. 求线面角方法：先求出直线的方向向量，平面的法向量，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意的范围是.3. 求二面角方法：先求出直线的方向向量，平面的法向量，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意
8、的范围是.例1如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A B C D0【答案】D【解析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）,=（1，0，1），=（1，1，1）,设异面直线A1E与GF所成角的为，则cos=|cos，|=0，故选D练习1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为
9、60，E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A0 B C D【答案】B【解析】以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在RtAOB中OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，0），B（1，0，0），D（1，0，0），P（0，0，）E是PB的中点，则E（，0，）于是=（，0，），=（0，）设与的夹角为，有cos=，=arccos，异面直线DE与PA所成角的大小是arccos练习2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点（1）求证ACBC1；（2）求证AC1平面CDB1；（
10、3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值【答案】证明：（1）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，ACBC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1；（3）DEAC1，CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，cosCED=，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值解法二：直三棱锥ABCA1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直如
11、图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（）=（3，0，0），=（0，4，4），=0，（2）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）=（，0，2），=（3，0，4），=，,DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1（3）=（3，0，4），=（0，4，4），cos，=，异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为【解析】解法一：（1）利用勾股定理的逆定理判断出ACBC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出（2）因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，
12、根据三角形中位线定理得DEAC1，得到AC1平面CDB1；（3）因为AC1DE，所以CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可解法二：利用空间向量法如图建立坐标系，（1）证得向量点积为零即得垂直（2）=，与两个向量或者共线或者平行可得空间中的成角问题主要包括异面直线成角、线面成角和二面角，求解异面直线成角的过程如下：先求出两异面直线的方向向量，分别设为，异面直线所成的角设为，则，注意的范围是.例2如图，DC平面ABC，EBDC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120，P，Q分别为AE，AB的中点（）证明：PQ平面ACD；（）求AD与平面ABE所成角的正弦值【答案】（1）证明：连接DP，
13、CQ，在ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，又，又PQ平面ACD，DC平面ACD，PQ平面ACD（2）在ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，CQAB而DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC而EB平面ABE，平面ABE平面ABC，CQ平面ABE，由（）知四边形DCQP是平行四边形，DPCQDP平面ABE，直线AD在平面ABE内的射影是AP，直线AD与平面ABE所成角是DAP，在RtAPD中，=，DP=CQ=2sinCAQ=2sin30=1【解析】（1）利用三角形的中位线定理，又已知，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ平面ABE，再利用（）的结论可证明DP平面ABE，从而得到DAP是所求的线面角练习1如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A B C D【答案】D【解析】以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，A（1，0，0），E（1，1），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（0，1），=（0，1，0），=（1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则，设直线AE与平面与平面ABC
