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1、第3讲 基本初等函数1.掌握指数和对数的运算规律.2.要熟练的运用指数函数和对数函数的图像和性质.3.掌握幂函数的图像.1.指数函数和对数函数的图像与性质是重点.2.指数函数、对数函数、幂函数综合应用是难点.指数运算与指数函数一、指数与指数幂的运算.1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作.2、分数指数幂.正数的分数指数幂的意义，规定：（1） ；（2）.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3、实数指数幂的运算性质.（1）；（2）；（3）二、指数函数的定义1、指数函数的概念：一般地，形如的函数称指数函数，为自变量.2、
2、指数函数的图象和性质.图像定义域RR值域单调性在R上单调递增在R上单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数定点例1.（2016秋海淀区校级期中）求值=_【答案】【解析】故答案为练习1.（2015秋海淀区校级期中）计算下列各式的值：（1）当m=2时，求（m2）3m4的值；（2）计算：（0.25）0.5+6250.25【答案】（1）1024；（2）6【解析】（1）当m=2时，（m2）3m4=4324=1024；（2）（0.25）0.5+6250.25=（0.5）2（0.5）+540.25=235=6练习2.（2009秋西城区校级期中）若a1，且a+a1=，则aa1的值等于（）A B2或2 C2 D2
3、【答案】D【解析】a+a1=，（a+a1）2=a2+a2+2=8，a2+a2=6，（aa1）2=a2+a22=4又a1，aa1，aa1=2，故选D.掌握根式，掌握开方和乘方，会用根式的运算性质求解；掌握分数指数幂的意义，熟练掌握指数幂的混合运算.例2.函数是指数函数，求a的值.【答案】2【解析】由题可知，解得，.练习1.（2017秋昌平区校级期中）下列各函数中，是指数函数的是（）Ay=（3）x By=3x Cy=3x1 Dy=3x【答案】D【解析】根据指数函数的定义：形如y=ax（a0，且a1）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确，故选D练习2.下列函数中是指数函数的是 .【答案】
4、【解析】符合指数函数的定义，其中符合指数函数的定义.而中底x不是常数，前面系数不是1，中的底小于零.掌握指数函数的概念，并能熟练应用.例3（2010秋东城区月考）函数f（x）=2x+1（x1）的值域是（）A（，0）（0，+） B3，+） C（1，+） D（3，+）【答案】D【解析】令t=2x，因为y=2x在（1，+）上单调递增，所以则t21=2，函数f（x）=2x+1的值域是（3，+），故选D练习1.（2010秋朝阳区期中）函数的值域为（）A（0，1 B（0，+） C（1，+） D（，+）【答案】B【解析】函数的图象如图：由f（x）的图象可得：f（x）的值域为（0，+）故选B练习2.（2014
5、北京模拟）若集合M=y|y=3x，P=y|y=，则MP=（）Ay|y1 By|y1 Cy|y0 Dy|y0【答案】C【解析】M=y|y=3x=y|y0，P=y|y=y|y0，所以MP=M，故选C.练习3.（2014秋大兴区期中）函数f（x）=3x1，x1，2的值域是【答案】，8【解析】函数f（x）=3x1在1，2上是增函数，f（1）f（x）f（2），即f（x）8，函数的值域是，8故答案为，8练习4.（2013丰台区二模）若函数f（x）=ax（a0，a1）在2，1上的最大值为4，最小值为m，则m的值是 【答案】或【解析】当a1时，f（x）在2，1上单调递增，则f（x）的最大值为f（1）=a=4，
6、最小值m=f（2）=a2=42=；当0a1时，f（x）在2，1上单调递减，则f（x）的最大值为f（2）=a2=4，解得a=，此时最小值m=f（1）=a=，故答案为或掌握指数函数的定义域及值域，熟练运用换元法、数形结合法求复合函数的值域.例4.（2015秋通州区校级期中）若a0且a1，则函数y=ax21的图象必过定点_【答案】（2，0）【解析】a0=1，令x2=0，则x=2，故y=11=0，故函数y=ax21的图象必过定点（2，0）故答案为：（2，0）练习1.（2015秋海淀区校级期中）当a0且a1时，函数f（x）=ax+2+5的图象必过定点_【答案】（2，6）【解析】当a0且a1时，函数f（x
7、）=ax+2+5，当x=2时，f（2）=a0+5=6，函数f（x）=ax+2+5的图象必过定点（2，6）故答案为（2，6）练习2.（2016秋东城区校级期中）已知函数f（x）=1+ax3（a0，且a1）恒过定点P，那么P点坐标为_【答案】（3，2）【解析】当x3=0，即x=3时，f（3）=1+a0=2（a0，且a1）恒成立，故P点坐标为（3，2），故答案为：（3，2）指数函数恒过定点问题是基础考点,需要掌握恒过点（0,1）.例5.（20122013北京市西城区普通校高一（上）期中试卷）若指数函数y=（a+1）x在（，+）上是减函数，那么（）A0a1 B1a0 Ca=1 Da1【答案】B【解析】
8、指数函数y=（a+1）x在（，+）上是减函数，0a+11，解得1a0，故选B练习1.（20152016北京市昌平三中高一（上）期中试卷）设指数函数f（x）=（a1）x是R上的减函数，则a的取值范围是【答案】1a2【解析】根据指数函数的性质得0a11，1a2故答案为1a2掌握指数函数的单调性，会求解复合函数的单调性.例6.（2014秋海淀区期末）设，其中e2.71828，则a，b，c的大小顺序为（）Aabc Bacb Cbac Dbca【答案】D【解析】a=21=，根据指数函数y=（）x为减函数，0211，b=e0.51，bca，故选D.练习1.（2011春东城区期末）若，则（）A0x2x1 B
9、x1x21 Cx2x10 Dx1x20【答案】A【解析】不等式可化为，又函数的底数01，故函数为减函数，0x2x1，故选A练习2.比较下列两个数的大小.(1)和；(2)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，在定义域上单减，.；(2)，.根据指数函数的单调性比较大小是常考考点.对数与对数函数1、 对数与对数的运算.1、对数的概念：如果a(a0,且)的x次幂等于N，即，那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底，N叫真数.2、对数的运算.(1)对数的常用运算性质.；.(2)换底公式；.2、 对数函数及性质.1、对数函数的概念：形如，叫对数函数.(注意：定义域)2、对数函数的图像与性
10、质.图像定义域值域RR单调性在R上递增在R上递减定点例7.计算：(1)；(2).【答案】(1)2；(2).【解析】(1)原式；(2)原式.练习1.（2018北京模拟）等于（）A1 B2 C5 D6【答案】B【解析】=，故选B练习2.（2017秋西城区期末）若，则有（）Aa=2b Bb=2a Ca=4b Db=4a【答案】C【解析】，得，即a=4b，故选C熟练掌握对数的四则运算和换底公式，重点考查计算能力.例8.（2013北京朝阳区高三（上）期中数学试卷）函数的定义域是（）Ax|x3 Bx|4x3 Cx|x4 Dx|4x3【答案】D【解析】对于log2（62x），得出62x0，x3，对于 ，得出
11、x+40，x4函数的定义域是x|4x3，故选D.练习1.求下列函数的定义域.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【解析】(1)，即函数的定义域;(2)解得，函数的定义域.对数函数的定义域是高考中经常出现的题型，要熟练掌握.例9.（2011秋北京人大附中高一（上）期中数学试卷）函数f（x）=log3（x22x+10）的值域为【答案】2，+）【解析】令t=x22x+10=（x1）2+99，故函数变为y=log3t，t9，此函数是一个增函数，其最小值为log39=2，故f（x）的值域为2，+），故答案为2，+）.练习1.（20102011北京四中高一（上）期中试卷）函数f（x）=log2（3x+
12、1）的值域为【答案】（0，+）【解析】3x+11，log2（3x+1）0，f（x）=log2（3x+1）的值域为（0，+），故答案为（0，+）掌握对数函数的值域，熟练运用换元法、数形结合法求复合函数的值域.例10.已知函数是R上的增函数，那么实数a的范围（）A B C（1，+） D（1，2）【答案】D【解析】由题意可得 ，解得 1a2，故选D练习1.（2010秋西城区校级期中）函数的单调增区间是（）A（，2 B（0，2 C2，4） D2，+）【答案】C【解析】函数的定义域为x|4xx20=（0，4），y=4xx2=（x2）24在（0，4）上的减区间为2，4），而为（0，+）上的减函数，的单调增区间为2，4），故选C.掌握对数数函数的单调性，会求解复合函数的单调性，以及会利用单调性求函数
