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1、第3讲 基本初等函数1.掌握指数和对数的运算规律.2.要熟练的运用指数函数和对数函数的图像和性质.3.掌握幂函数的图像.1.指数函数和对数函数的图像与性质是重点.2.指数函数、对数函数、幂函数综合应用是难点.指数与指数函数一、指数与指数幂的运算.1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作.2、分数指数幂.正数的分数指数幂的意义，规定：（1） ；（2）.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.3、实数指数幂的运算性质.（1）；（2）；（3）例1.求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) .【答案】（1）；（2）-2；（3）
2、.【解析】（1）；（2）；（3） 原式.练习1.【答案】【解析】.练习2.【答案】4【解析】原式.知道根式，掌握开方和乘方，会用根式的运算性质求解.例2.将下列根式化成分数指数幂的形式.(1) ；(2) .【答案】(1)；(2).【解析】(1)；（2）.练习1.化简.【答案】【解析】.练习2.【答案】【解析】原式.掌握分数指数幂的意义，熟练掌握指数幂的混合运算.指数函数的定义1、指数函数的概念：一般地，形如的函数称指数函数，为自变量.2、指数函数的图象和性质.图像定义域RR值域单调性在R上单调递增在R上单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数定点例3.函数是指数函数，求a的值.【答案】2【解析】
3、由题可知，解得，.练习1.函数是指数函数，求的值.【答案】3【解析】由题可知，解得，.练习2.下列函数中是指数函数的是 .【答案】【解析】符合指数函数的定义，其中符合指数函数的定义.而中底x不是常数，前面系数不是1，中的底小于零.要懂得指数函数的概念，熟练运用.例4.的图像必过定点_.【答案】【解析】指数函数的图像必过，则，即，.练习1.函数的图像必经过定点.【答案】【解析】指数函数的图像必过，则，即，.掌握指数函数的定点问题基本就能够解决此类问题.例5.求函数的值域_.【答案】【解析】，.练习1.求函数的值域.【答案】【解析】，.要熟练掌握利用复合函数的单调性求值域.例5.比较下列题中值的大
4、小.(1)与；(2)与；(3)与.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)构造函数，在R上单调递增，；(2)构造函数，在R上单调递减，；(3)分别构造函数和由指数函数性质可以知和在单调递增和单调递减，.练习1.比较下列两个数的大小.(1)和；(2)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，在定义域上单减，.；(2)，.掌握函数的单调性比较大小，并且熟练运用.例6.解不等式.【答案】【解析】，即.练习1.解不等式.【答案】【解析】，即，解得.利指数函数的单调性解决不等式.对数与对数函数1、 对数与对数的运算.1、对数的概念：如果a(a0,且)的x次幂等于N，即，那么x叫做以a为底N的对数
5、，记作，其中a叫做对数的底，N叫真数.2、对数的运算.(1)对数的常用运算性质.；.(2)换底公式；.2、 对数函数及性质.1、对数函数的概念：形如，叫对数函数.(注意：定义域)2、对数函数的图像与性质.图像定义域值域RR单调性在R上递增在R上递减定点例7.计算：(1)；(2).【答案】(1)2；(2).【解析】(1)原式；(2)原式.练习1.求的值.【答案】【解析】原式.练习2.设，求的值.【答案】1【解析】由题可知，根据换底公式，.掌握对数的混合运算性质及换底公式.例6.求下列函数的定义域.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得，函数的定义域是；(2)由得-3，函数的定
6、义域是.练习1.求下列函数的定义域.(1)；(2).【答案】(1)；(2).【解析】(1)，即函数的定义域;(2)解得，函数的定义域.对数函数的定义域是高考中经常出现的题型，要熟练掌握.例8.函数的图像恒过定点_.【答案】【解析】函数，恒过，故中，令，.练习1.函数的图像恒过定点 .【答案】【解析】对数函数，恒过，故中，令，.对数函数定点问题要掌握对数函数的图像及性质.例9.比较下列各组数的大小.(1)和；(2)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)构造，在定义域上单调递增，；(2),.练习1.，的大小关系.【答案】【解析】，.利用对数函数的单调性比较对数的大小.例10.已知，求x的取值范
7、围.【答案】【解析】在定义域上单调递减，解得.练习1.已知求a的取值范围.【答案】【解析】当时，有，此时无解，当时，有，故.利用对数函数的单调性解决不等式问题.幂函数1、 幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.二、幂函数的图像与性质：1、作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）从图象分析出幂函数所具有的性质.2、 幂函数的性质定义域RRR值域RR奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增增减增增减增定点来源:Zxxk.Com例11.下列不是幂函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然C中不是的形式，故C不是.练习1.是幂函数，则m= .【答案】-3【解析
8、】是幂函数可知，解得，又使得指数上的分母为0，因此舍去.幂函数的概念的应用.例12.设，则a、b、c的大小.【答案】【解析】由指数函数的性质可知，.练习1.设，则a、b、c的大小 .【答案】【解析】，.练习2.幂函数在时为减函数，则m= .【答案】2【解析】由题可知，解得，在时为减函数，当，符合题意，当时不符合题意.利用幂函数性质判断单调性及利用单调性比较大小.基本初等函数图像的变换与综合一、图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.1、平移变换：（1）、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平
9、移个单位即可得到.2、对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到；（5）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到.3、翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到.4、伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为
10、原来的倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到.例13.为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位【答案】D【解析】本题考查函数的平移，则只需把向右平移1个单位.练习1.画出和的图像.【答案】【解析】由的图像向左平移一个单位;的图像由向下平移2个单位.练习2.已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象，则函数的最大值 .【答案】-2【解析】由图像的平移可知：=log2当且仅当,即时取等号.掌握图像的变换方法，做基本初等函数题型经常利用函数的图像进行解题.例14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是_. 【答案】【解析】画图象可知.练习1.已知函数，则函数的图象可能是( )【答案】B【解析】由向下平移2个单位后，x轴下面的部分沿着y轴翻转，因此选择B.练习2.函数的图象是（ ）【答案】B【解析】因为，所以选B.掌握函数的特征，从而掌握图像.1、 了解指数函数、对数函数、幂函数的概念.2、 要学会结合三种基本初等函数的图像熟悉掌握函数的性质，并且能够熟练运用.3、 要学会函数图像变换的几种形式，利用基本初等函数的图像进行解题.
