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1、高三数学 2017 秋季 第 1页 第 2 讲函数与导数 本讲模块高考考点 高考要求 了解理解掌握 导数概念及其几何意义 导数概念的实际背景A 导数的几何意义B 导数的运算 基本初等函数的导数C 导数的运算法则B 复合函数的导数B 1 导数的计算是重点 一定要全面复习 避免遗漏 logax 等不常出现的函数的导数 2 导数的分类讨论思想是难点 3 导数的几何意义是重点 基本概念要深度复习 高三数学 2017 秋季 第 2页 导数的意义和导数的计算导数的意义和导数的计算 一 一 导数与导函数的概念导数与导函数的概念 1 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是lim x 0 y x l
2、im x 0 f x0 x f x0 x 我们称 它为函数y f x 在x x0处的导数 记作或 即f x0 lim x 0 y x 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一 个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 二 二 导数的几何意义导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的 斜率k 即k 三 三 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f x c c为常数 f x f x x Q Q f x 高三数学 2
3、017 秋季 第 3页 f x sinxf x f x cosxf x f x e x f x f x a x a 0 a 1 f x f x lnxf x f x logax a 0 a 1 f x 四 四 导数的运算法则导数的运算法则 若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x g x 0 五 五 复合函数的导数复合函数的导数 复 合 函 数y f g x 的 导 数 和 函 数y f u u g x 的 导 数 间 的 关 系 为yx 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘 积 例 1 已知函数 f x ax3 x 1 的图象在点 1 f 1
4、处的切线过点 2 7 则 a 练习 1 若函数 f x 2x 2 1 的图象上一点 1 1 及邻近一点 1 x 1 y 则 等于 A 4B 4xC 4 2 xD 4 2 x 2 高三数学 2017 秋季 第 4页 例 2 2017 长春三模 若函数 f x e x sinx 则 f 0 练习 1 2017 重庆模拟 已知函数 f x h hth h 其导函数记为 f x 则 f 2012 f 2012 f 2012 f 2012 高三数学 2017 秋季 第 5页 导数在函数中的应用导数在函数中的应用 一 一 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明 1 定义 一般地 设函数 f x 的定
5、义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上 是 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间D上是 若函数 f x 在区间 D 上是增函数或减函数 则称函数 f x 在这一区间具有 严格 的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 2 证明函数的单调性用定义法的步骤 3 利用函数的导数证明函数单调性的步骤 二 二 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 1 关系描述 2 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤 1 确定 f x 的定义
6、域 2 计算导数 f x 3 求出 f x 0 的根 4 用 f x 0 的根将 f x 的定义域分成若干个区间 列表考察这若干个区间内 f x 的符号 进而确定 f x 的单调区间 f x 0 则 f x 在对应区间上是增函 数 对应区间为增区间 f x 0 则 f x 在对应区间上是减函数 对应区间为减区 间 高三数学 2017 秋季 第 6页 三 函数的极值 1 一般地 求函数 y f x 的极值的方法 解方程 f x 0 当 f x0 0 时 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极大值 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求 f
7、 x 求方程的根 考察 f x 在方程的根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么 f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么 f x 在这个根处取得 四 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数 f x 在 a b 上单调递增 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数 f x 在 a b 上单调递减 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求 f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 如下 求函数 y f x 在 a b 内的 将函数 y f x 的各与处的函数值 f
8、a f b 比较 其中最大的一个为最大 值 最小的一个为最小值 例 3 已知函数 f x 的定义域为 R f 1 2 对任意 x R f x 2 则 f x 2x 4 的解集为 A 1 1 B 1 C 1 D 练习 1 若函数f x x 2 ax 1 x在 1 2 是增函数 则a的取值范围是 A 1 0 B 1 C 0 3 D 3 高三数学 2017 秋季 第 7页 练习 2 对于 R R 上可导的任意函数f x 若满足 1 x f x 0 则必有 A f 0 f 2 2f 1 B f 0 f 2 2f 1 C f 0 f 2 2f 1 D f 0 f 2 2f 1 例 4 函数f x ax
9、3 bx2 cx 34 a b c R R 的导函数为 f x 若不等式 f x 0 的解集为 x 2 x 3 且f x 的极小值等于 115 则a的值是 A 81 22 B 1 3 C 2D 5 练习 1 2016 高考北京卷 函数f x x x 1 x 2 的最大值为 高三数学 2017 秋季 第 8页 导数的综合应用导数的综合应用 证明不等式的基本方法 证明不等式的基本方法 1 比较法 1 理论依据 a b a b 0 a b a b 0 证明步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 2 1 定义 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证 而得到命题成立 这种证明
10、方法叫做综合法 综合法又叫做推证法或由因导果法 3 1 定义 从要证的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 4 1 定义 证明不等式时 通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小 简化不等式 从 而达到证明的目的 这种证明方法称为放缩法 常用的放缩技巧有 n n h n n h n n n n n 右边当 n 时成立 k h k k h hk k k hk k k h 高三数学 2017 秋季 第 9页 例 5 求函数 32 11 32 a f xxxaxa xR 的单调
11、区间 练习 1 已知函数 2 lnfxxx 函数 2 g xfxxax 0a 若 0 xe 时 g x的最小值是 3 求实数a的值 e是自然对数的底数 练习 2 已知函数f x In 1 x x 2 2 x k k 0 求f x 的单调区间 高三数学 2017 秋季 第 10页 例 6 2017 春 静海县校级月考 已知函数 hh hth h h 1 设函数 h h 当 a 2 时 讨论 y f x g x 的单调性 并证明当 x 0 时 x 2 e x x 2 0 2 求函数 f x 的单调区间 3 当 a 1 时 若对任意 x1 x2 3 有 f x1 f x2 m 成立 求实数 m 的 最小值 练习 1 已知函数 f x lnx x 1 3 1 求 f x 的最大值与最小值 2 若 f x 4 at 于任意的 x 1 3 t 0 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 高三数学 2017 秋季 第 11页
