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1、 第10讲 空间向量本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握空间向量及其运算空间向量的概念A空间向量的基本定理及其意义B空间向量的加减法C空间向量的数乘运算C共线向量与共面向量B空间向量的数量积运算C空间向量运算的坐标表示C基本初等函数及其图像直线的方向向量与平面的法向量C用向量法证明平行C用向量法证明垂直C用向量法求空间中异面直线的成角C用向量法求空间中直线与平面的成角C用向量法求空间中二面角C用向量法求空间中点到面的距离B1.利用向量法证明空间中直线与平面的位置关系是重点.2.利用向量法求解空间中的成角问题（异面直线成角、线面成角、二面角）是重点也是难点.3.利用向量法求解空间中的距离问题是重
2、点也是难点.利用向量方法判定空间中的平行与垂直一、利用向量方法判定空间中的平行空间中的平行关系主要指：线线平行、线面平行、面面平行.1. 线线平行设直线，的方向向量分别是和，则要证明，只需证明_，即_.2.线面平行（1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则要证明，只需要证明_，即_.（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以_.（3）根据共面向量的定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必平行，因此要证一条直线和一个平面平行，只要证明_.3.面面
3、平行 （1）由面面平行的判定定理知，要证明面面平行，只要转换为相应的线面平行、线线平行即可. （2）若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明_.2、 利用向量方法判定空间中的垂直空间中的垂直关系主要指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.1. 线线垂直设直线，的方向向量分别是和，则要证明，只需证明_，即_.2. 线面垂直（1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则要证明，只需要证明_.（2）根据线面垂直的判定定理转换为直线与平面内的两条相交直线垂直.3.面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转换为证相应的线面垂直，线线垂直.（2）证明两个平面的法向量互相垂直.例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1
4、中，M、N分别为AB、B1C的中点（1）用向量法证明平面A1BD平面B1CD1；（2）用向量法证明MN面A1BD练习1如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若=，用向量法证明：直线MN平面PAB练习2如图，点D，E分别是三棱柱ABCA1B1C1的棱AB，B1C1的中点，记=，=，=（1）用向量，表示向量；（2）已知向量是平面ACC1A1的一个法向量，利用与的关系证DE面ACC1A1_利用向量方法求空间中的夹角1. 求异面直线所成角方法：先求出两异面直线的方向向量，分别设为，异面直线所成的角设为，则，注意的范围是.2. 求线面角方法：先求出直线的方向向量，平面的法向量
5、，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意的范围是.3. 求二面角方法：先求出直线的方向向量，平面的法向量，分别设为，并设直线与平面所成的角为，则，注意的范围是.例1如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A B C D0练习1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A0 B C D练习2如图，在直三棱柱ABCA1B
6、1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点（1）求证ACBC1；（2）求证AC1平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值_例2如图，DC平面ABC，EBDC，AC=BC=EB=2DC=2，ACB=120，P，Q分别为AE，AB的中点（1）证明：PQ平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值练习1如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A B C D练习2如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E=CF=1（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角
7、的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值_例3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值练习1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值练习2如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点（1）
8、证明：直线CE平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值_利用向量方法求空间中的距离1.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d_（）概念：过空间不在平面内一点做平面的垂线，垂足为，则线段的长度就是点到平 面的距离（）点到平面的距离的向量公式：过空间不在平面内一点做平面的垂线，垂足为，另过作交于，且与 不重合，设平面的法向量为，与平面所成的角为，则，于是点到平 面的距离例1如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD，ACCD，PA=AC，PA平面ABCD（1）若E为棱PC的中点，求证PD平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离练习1如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离练习2如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，D，E分别是BB1和AB的中点（1）证明：AD平面A1EC；（2）求点B1到平面A1EC的距离_
