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1、第5讲 不等式及证明1. 绝对值三角不等式及其应用2. 绝对值不等式的解法3. 不等式证明的多种方法4. 综合分析法的应用1.绝对值三角不等式的证明方法2.绝对值不等式解法的应用3.综合分析法的应用绝对值三角不等式定理1 如果是实数，则（当且仅当时，等号成立.）根据定理，有，就是，。 所以，。定理2（绝对值三角形不等式）如果是实数，则注：当为复数或向量时结论也成立.推论1：推论2： 如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.例1如果关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得,因为 ，所以 ，选C.练习1. 若函数的最小值为3，则实数的值为
2、( )A. 4 B. 2 C. 2或 D. 4或【答案】D【解析】 4或，选D.练习2. 若存在实数x，使丨x-a丨+丨x-1丨3成立，则实数a的取值范围是（ ）A. -2,1 B. -2,2 C. -2,3 D. -2,4【答案】D【解析】由|xa|+|x1|(xa)(x1)|=|a1|，不等式|xa|+|x1|3有解，可得|a1|3，即3a13，求得2a4，故选：D.利用三角不等式解题，首先要构造和或者差为定值的结构.例2对于实数，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】|x2y+1|=|(x1)2(y1)|x1|+2|y1|x1|+2|y1|，再由|x1|2，|y
3、1|2可得|x1|+2|y1|2+22=6，故|x2y+1|的最大值为6，故答案为：6.故选D.练习1. 若关于x的不等式x+2-x-1a的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A. (3,) B. (-3,) C. (-,3) D. (-,-3)【答案】C【解析】x+2-x-1表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当a3时，关于x的不等式x+2-x-1a的解集不是空集，故实数a的取值范围为(-,3)，故选C.练习2. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得,因为所以，解得实数的取值范围为，选D.利用绝
4、对值三角不等式求函数的最值问题，需要注意等号成立的条件.绝对值不等式的解法1与型的不等式的解法即 不等式的解集是;不等式的解集是2,与型的不等式的解法把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解不等式的解集为 ;不等式的解集为 例3不等式|x3|x2|3的解集是（ ）A. x|x3或x1 B. x|x4或x2 C. x|x2或x1 Dx|x4或x1.【答案】D【解析】由绝对值的几何意义，不等式即：数轴上与3的距离和与2的距离之和大于等于3的数组成的集合，据此可得不等式的解集为：x|x4或x1.本题选择D选项.练习1. 不等式的解集是（ ）A. , B. , C. , D. ,【答案】A【解析】
5、等价于 ，得，选A.练习2. 已知函数.解不等式；【答案】 ；【解析】依题意，得或或解得.即不等式的解集为.解绝对值不等式，应把绝对值里面的作为整体，利用基础不等式展开求解。例4已知函数fx=x-2+x+a.（）若a=1，解不等式fx2x-2；（）若fx2恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（）x12.（）a0或a-4.【解析】（）当a=1时，fx2x-2，即x+1x-2.解得x12.（）fx=x-2+x+a x-2-x+a=a+2，若fx2恒成立，只需a+22，即a+22或a+2-2，解得a0或a-4. 练习1. 关于的不等式的解集为，则不等式的解为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C
6、【解析】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，由韦达定理可得 ， 化为，可得或,解得或，即不等式的解为，故选C.练习2. 设函数（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1） ，原不等式转化为或或，原不等式的解集为（2）当时， ，若关于的不等式在上无解，则，即， ，实数的取值范围是.含有参数形式的绝对值不等式，需要对参数进行讨论，或者利用分类讨论的思想解题.比较法证明不等式1比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）变形判断结论.2作差法：ab0ab，ab0ab.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差
7、变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3作商法：a0，b0，1ab.比商法要注意使用条件，若1不能推出ab.这里要注意a、b两数的符号.例5若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ【答案】B【解析】ab1lga0,lgb0.RQP.练习1. 当a、b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由均值不等式及a2+b22ab,可知选项A、B、C中，最小，而，由当ab时，a+b2,两端同乘以，可得（a+b）2ab, ，因此选D.练习2. 已知：，那么下列不
8、等式成立的是（ ）A BC D【答案】D【解析】.-1b0,a0,a(b+1)(b-1)0，即abab2a.作差或者作商是比较两个数最基础最重要的两个办法.综合法与分析法1.分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件.综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键2. 证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价
9、(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证,这就是综合分析法.例6设a，b是正实数，以下不等式：(1) ；(2) ；(3) ；(4)a|ab|b，其中恒成立的有( )A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (2)(4)【答案】B【解析】a，b是正实数，而ab不一定是定值，故a+2不一定成立，如a=，b=1，a+=22+5；(2)a2+b2+3ab+3a+b【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）要证原不等式成立，只需证6+7222+52，即证242240, 上式显然成立, 原不等式成立. (2) a2+b22ab, a2+
10、323a, b2+323b, 将此三式相加得(a2+b2+3)2ab+23a+23b.a2+b2+3ab+3(a+b).练习2. 已知，求证：（）；（）【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（）（ab）（1ab）ab1ab（a1）b（1a）（a1）（1b），0ab1，a10，1b0（a1）（1b）0ab1ab（）要证： ，只需证： ，只需证： ，即，从而只需证： ，即，只需证abaabb，即ab，显然成立，原不等式成立分析法往往从结论入手，不断化简转化结论，使之变得更加明确或靠近我们所熟悉的问题结论.例7. 已知.（1）求证： ；（2）求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析
11、.【解析】（1）, ,即.(另外，作差法亦可，左右=不等式成立)（2）要证，只需证，只需证，即， 原不等式成立.练习1. 求证： 【答案】见解析【解析】要证明成立，只需证明， 即,从而只需证明即,这显然成立. 这样，就证明了.练习2. 已知.（1）求证： ； （2）若 ，求证：在中至少有两个负数.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】（1）要证 ，只需证，只需证， ，即原不等式成立.（2）反证法：假设中只有一个负数，不妨设，则，则，得与已知矛盾， 中不可能只有一个负数.假设都不是负数，则， ，得与已知矛盾， 中不可能都不是负数.综上，在中至少有两个负数. 不等式的证明方法，通常考虑“差比法”“分析法”“综合法”“反证法”“放缩法”“换元法”“数学归纳法”等。当题目的条件较少时，利用“分析法”往往通过“执果索因”，可以探求得到证明的途径，这也就是综合分析法.1. 绝对值不等式的性质;2. 绝对值不等式的解法的应用;3. 比较法证明不等式;4. 综合分析法的应用.
