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1、 高三数学 2017 秋季 第 1 页 第 2 讲 函数与导数 本讲模块 高考考点 高考要求 了解 理解 掌握 导数概念及其几何意义 导数概念的实际背景 A 导数的几何意义 B 导数的运算 基本初等函数的导数 C 导数的运算法则 B 复合函数的导数 B 1 导数的计算是重点 一定要全面复习 避免遗漏 logax 等不常出现的函数的导数 2 导数的分类讨论思想是难点 3 导数的几何意义是重点 基本概念要深度复习 高三数学 2017 秋季 第 2 页 导数的意义和导数的计算 一 导数与导函数的概念 1 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是lim x 0 y x lim x 0 f x
2、0 x f x0 x 我们 称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 0 0 x x fxy 或 即f x0 lim x 0 y x lim x 0 f x0 x f x0 x 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一 个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 二 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的 斜率k 即k f x0 三 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f x c c为常数 f x 0 高三数学 2017
3、 秋季 第 3 页 f x x Q Q f x x 1 f x sin x f x cos x f x cos x f x sin x f x e x f x e x f x a x a 0 a 1 f x a xln a f x ln x f x 1 x f x logax a 0 a 1 f x 1 xln a 四 导数的运算法则 若 f x g x 存在 则有 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 3 f x g x f x g x f x g x g x 2 g x 0 五 复合函数的导数 复合函数y f g x 的导数和函数y f u
4、 u g x 的导数间的关系为yx yu ux 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 例 1 2014 海淀区校级模拟 设 f x 在 x 处可导 则 0 2 等于 A 2f x B 1 2f x C f x D 4f x 答案 C 解 f x 在 x 处可导 0 2 f x 故选 C 练习 1 2014 秋 大兴区期中 一质点的运动方程是 s 5 3t2 则在一段时间 1 1 t 内相应的平均速度为 A 3 t 6 B 3 t 6 C 3 t 6 D 3 t 6 答案 D 解析 高三数学 2017 秋季 第 4 页 解 5 3 1 2 5 3 12 6 3 运用导数的定义和导数
5、的几何意义解决导数的简单问题 例 2 2017 春 涵江区校级月考 设函数 f x log2x 则 f x 等于 A 1 2 B 1 C 1 D 1 2 答案 A 解析 解 f x log2x f x 1 2 故选 A 练习 1 2017 春 西城区校级期中 已知 f x 1 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x n 则 f 0 A n B n 1 C 1 2 D 1 2n n 1 答案 D 解析 解 根据题意 f x 1 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x n 则其导数 f x 1 2 1 x 3 1 x 2 4 1 x 3 n 1 x n 1 则 f 0 1 2 3 4 n 1 2
6、故选 D 熟练掌握导数的运算法则 注意复合函数乘法和除法的导数运算法则 导数在函数中的应用 一 一 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明 1 定义 一般地 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意 两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上 高三数学 2017 秋季 第 5 页 是增函数 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函数 若函数 f x 在区间 D 上是增函数或减函数 则称函数 f x 在这一区间具有 严格 的 单调性 区间 D 叫做
7、 y f x 的单调区间 2 证明函数的单调性用定义法的步骤 取值 作差 变形 确定符号 下结论 利用函数的导数证明函数单调性的步骤 第一步 求函数的定义域 若题设中有对数函数一定先求定义域 若题设中有三次函数 指 数函数可不考虑定义域 第二步 求函数 f x 的导数 f x 并令 f x 0 求其根 第三步 利用 f x 0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开 区间 并列表 第四步 由 f x 在小开区间内的正 负值判断 f x 在小开区间内的单调性 求极值 最值 第五步 将不等式恒成立问题转化为 f x max a 或 f x min a 解不等式求参数的取 值范
8、围 第六步 明确规范地表述结论 二 二 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 1 关系描述 若函数 f x 在区间 a b 内可导 前提条件 则有 如果恒有 f x 0 则函数 f x 在区间 a b 内为增函数 这个从导数的定义可 以知道 可以理解为函数任意两个点的连线的斜率大于 0 是处于增长趋势的 故函数单调 递增 且严格单调递增 f x 0 则反之 如果恒有 f x 0 则函数 f x 在区间 a b 内为常数 若 f x 0 其中只有有限个点 f x 0 则函数 f x 在 a b 内仍是增函 数 如 y x 3 叫做不严格单调递增 2 利用导数求解多项式函数单调性的一般
9、步骤 1 确定 f x 的定义域 2 计算导数 f x 3 求出 f x 0 的根 4 用 f x 0 的根将 f x 的定义域分成若干个区间 列表考察这若干个区间内 f 高三数学 2017 秋季 第 6 页 x 的符号 进而确定 f x 的单调区间 f x 0 则 f x 在对应区间上是增函 数 对应区间为增区间 f x 0 则 f x 在对应区间上是减函数 对应区间为减区 间 三 函数的极值 1 一般地 求函数 y f x 的极值的方法 解方程 f x 0 当 f x0 0 时 如果在 x0附近的左侧 f x 0 右侧 f x 0 那么 f x0 是极大值 如果在 x0附近的左侧 f x
10、0 那么 f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求 f x 求方程 f x 0 的根 考察 f x 在方程 f x 0 的根附近的左右两侧导数值的符号 如果左正右负 那么 f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么 f x 在这个根处取得极小值 四 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数 f x 在 a b 上单调递增 则 f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数 f x 在 a b 上单调递减 则 f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导
11、 求 f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 如下 求函数 y f x 在 a b 内的极值 将函数 y f x 的各极值与端点处的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最 小的一个为最小值 例 3 2016 春 海淀区校级月考 已知函数 f x x3 ax 在 1 上是增函数 则 a 的最小值是 A 3 B 2 C 2 D 3 答案 A 解析 解 f x 3x2 a 函数 f x x3 ax 在 1 上是增函数 f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 f x 3x2 a 在 1 上增函数 高三数学 2017 秋季 第 7 页 3x2 a 3 12 a 3 a 3 a
12、0 a 3 故选 A 练习 1 2017 秋 通州区期末 已知函数 f x a R 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 对任意的 x 1 f x 恒成立 求 a 的取值范围 答案 单调递增区间是 e 单调递减区间是 0 1 和 1 e a 1 解析 解 因为 a 0 所以 f x x 0 1 1 所以 f x 1 2 令 f x 0 解得 x e 令 f x 0 解得 x e 令 f x 0 解得 x e 所以 f x 在 e 上单调递增 在 0 1 和 1 e 上单调递减 所以 f x 的单调递增区间是 e 单调递减区间是 0 1 和 1 e 因为 x 1 所以 lnx 0 所以任意
13、的 x 1 f x 恒成立 即 恒成立 等价于 a x lnx 恒成立 令 g x x lnx 所以 g x 2 2 2 令 h x 2 lnx 2 所以 h x 1 0 在 1 恒成立 所以 h x 在 1 上单调递增 所以 h x h 1 0 高三数学 2017 秋季 第 8 页 所以当 x 1 时 g x 0 所以 g x 在 1 上单调递增 所以 g x g 1 1 所以 a 1 选择题 填空题的解法 构造法 方法诠释 用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型 从而简化推导与运算过程 构造法是建立在观察联想 分析综合的基 础之上的 首先应观察题目 观察已知 例如代数式
14、 形式上的特点 然后积极调动思维 联想 类比已学过的知识及各种数学结构 数学 模型 深刻地了解问题及问题的背景 几何背景 代数背景 从而构 造几何 函数 向量等具体的数学模型 达到快速解题的目的 解题关键 正确分析条件和结构的特殊性 联想常见的数学知识 例 4 2017 北京 已知函数 f x excosx x 1 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数 f x 在区间 0 2 上的最大值和最小值 答案 1 y 1 2 1 2 解析 解 1 函数 f x excosx x 的导数为 f x ex cosx sinx 1 可得曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线斜
15、率为 k e0 cos0 sin0 1 0 切点为 0 e0cos0 0 即为 0 1 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 1 2 函数 f x excosx x 的导数为 f x ex cosx sinx 1 令 g x ex cosx sinx 1 则 g x 的导数为 g x ex cosx sinx sinx cosx 2ex sinx 当 x 0 2 可得 g x 2e x sinx 0 即有 g x 在 0 2 递减 可得 g x g 0 0 高三数学 2017 秋季 第 9 页 则 f x 在 0 2 递减 即有函数 f x 在区间 0 2 上的最大值为 f
16、0 e 0cos0 0 1 最小值为 f 2 e 2cos 2 2 2 练习 1 2017 春 西城区期末 若函数 f x ax3 ax2 x 在区间 1 0 上恰有一个极 值点 则 a 的取值范围是 答案 1 5 或 1 解析 解 由题意 f x 3ax2 2ax 1 a 0 时 当 f 1 f 0 0 即 5a 1 0 时 函数 f x 在区间 1 0 上恰有一个极值点 解得 a 1 5 当 a 1 时 f x 3x2 2x 1 0 在 1 0 上恰有一根 x 1 3 当 a 0 时 f x 0 函数无极值点 综上 a 1 5 或 a 1 故答案为 1 5 或 1 1 函数图象是研究函数单调性 极值 最值最有利的工具 2 可导函数极值点的导数为 0 但导数为 0 的点不一定是极值点 如函数f x x 3 当 x 0 时就不是极值点 但f 0 0 3 极值点不是一个点 而是一个数x0 当x x0时 函数取得极值 在x0处有f x0 0 是函数f x 在x0处取得极值的必要不充分条件 4 f x 在f x 0 的根的左右两侧的值的符号 如果 左正右负 那么f x 在这个 根处取得极大值
